함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 Lp 공간(영어: Lp-space)은 절댓값의
제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.
측도 공간
및 음이 아닌 확장된 실수
가 주어졌다고 하고,
가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간
는
-위상 벡터 공간이며, 그 정의는
의 값에 따라 다음과 같다.
및 가측 함수
에 대하여 다음 기호를 정의하자.
![{\displaystyle \|\cdot \|_{p}\colon {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0cccbddf0edd1b80f44e14aabaa06a050b2800)
![{\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu }}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} \colon \mu (\{x\in X\colon |f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde716102569842660bfdfb515bc01e8ef9b93a5)
그렇다면,
를 다음과 같은 집합으로 정의하자.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \|f\|_{p}<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de34f5c79d236ecd0cf6b21db5d0ff99912125f)
여기서
는 두 측도 공간
사이의 가측 함수의 집합이며,
의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.
는
에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간
![{\displaystyle (\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )|\|f\|_{p}=0\}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b8f49873f6c67a73449e201a31f608d60e0176)
으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간
라고 한다.[1]:43, §II.2[2]:31, §1.43; 35, §1.47
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}{(\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0da06d1e960537cd98576fcd135866c73886fc9)
이 위에는 "열린 공"들
![{\displaystyle \left\{\operatorname {ball} (f,r)\colon r\in \mathbb {R} ^{+},\;f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a66cf3bfdb0f98a50d8877b33df469c0c0147e)
![{\displaystyle \operatorname {ball} (f,r)=\left\{g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\colon \|f-g\|_{p}<r\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323d4171e42fb6a66bb398a21d0cfc644b6435c4)
을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론,
이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)
만약
이라면,
는
위의 완비 노름을 이루며,
는
-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약
이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.
인 경우,
은 모든 가측 함수
의 (동치류의) 공간이다. 즉,
-벡터 공간
에
![{\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b678548e238cbdbabee8ea1b34b3782ea3e6e6d3)
를 정의하였을 때
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}{\mathcal {N}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701c1214bc1a2dc37efc8b0207440ab90c170640)
이다.
이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족
![{\displaystyle \{d_{S}\}_{S\in \Sigma ,\;\mu (S)<\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27dd8a5b6e6946bcc69007100636837ef21441a)
![{\displaystyle d_{S}(f,g)=\int _{S}\min\{|f-g|,1\}\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bd61dc3adc24ebed78edd51bccbc2fd4886e1d)
을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.
만약
가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간
일 경우,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\mathrm {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\ell ^{p}(\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33a184893a6ce34f77f69ca23a82c99a29a475d)
로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우
와
를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수
는
값을 갖는 수열이 되고, 노름
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}&0<p<\infty \\\sup _{i\in \mathbb {N} }|f_{i}|&p=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae296fa2b37202c361eca7dace5e0b98ef41308)
만약
일 경우,
는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2149b0ffbd41773c4c316c85cf90b4c157b51520)
만약
일 경우,
는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.[3]:816
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq 2^{(1-p)/p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f57c2a7615b17b8b6c813d6e70220e82796fab5)
증명:
임의의 두 음이 아닌 실수
에 대하여
![{\displaystyle (s+t)^{p}\leq s^{p}+t^{p}\leq 2^{1-p}(s+t)^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f90f8ad0f254705b7b5356f612ae7f9f237eed)
가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,
![{\displaystyle (\|f+g\|_{p})^{p}=\int _{X}|f+g|^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|+|g|)^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|^{p}+|g|^{p})\mathrm {d} \mu =(\|f\|_{p})^{p}+(\|g\|_{p})^{p}\leq 2^{1-p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1bb1f3a4a09856ee6af2f25b7a38d366014247)
이다.
임의의 측도 공간
및
및
에 대하여, 다음이 성립한다.
- (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약
라면
는
-바나흐 공간이다.
- 만약
라면
는
-반사 바나흐 공간이다. (그러나
또는
인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
- 만약
일 경우
는
-힐베르트 공간이다. (그러나
의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
- 만약
이며
일 경우
는 가환 C* 대수이다. 만약
가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.
임의의 측도 공간
및
및
에 대하여,
의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.
![{\displaystyle (\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))'=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\qquad (1/p+1/q=1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561128db08bd5e4cfe5fa8ebd59cac9aade98356)
구체적으로, 이 동형 사상은
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\times \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a48b278007e8da84ae84186deee02722e41d361)
![{\displaystyle ([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\mathrm {d} \mu (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb7bbbb96547d524b39330ca4b7dc38d8d12ae8)
이다. 특히,
일 경우
는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.
그러나
의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로
보다 훨씬 크다. 반면, 만약
가 시그마 유한 측도를 갖추었다면,
이다.
임의의 두 확장된 실수
![{\displaystyle 0<p<q\leq \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d48d1f2d68072a17daf8821c5d2feeb86bdee8b)
가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간
위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
- ㈎
![{\displaystyle \sup\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq \infty \}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc66bb0d53b5fc890b773a50c0370b9a1cbccece)
- ㈏
![{\displaystyle \inf\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq 0\}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91c0e7894800551b4bb09f324b9c7033480bc0b)
그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.[4]
- ㈎
![{\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a54dab805dfd26c495b3dd760058cbc3100675d)
- ㈏
![{\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\supseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b644d81e35e78c53e3720e238f9edbe0637448)
- ㈎와 ㈏가 동시에 성립
![{\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173b4a0c6515aa34cadd131a7ffda7a0ec2bee2c)
대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.
가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의
에 대하여
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bed3be80b64caa1174c8380ef23e5d19d41c857)
이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은
위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은
의 크기이다.
의 값에 따라,
위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.
![{\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (0<p<\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3276fb02c516ae1078a7386475ccacac6797ca4)
![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\max _{x\in X}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040229c63d4ee4a6cc7dbe1c461d9238f0edb3d6)
만약
일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며,
이자
일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.
일 경우,
의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간
공간의 성질은 다음과 같다.
의 범위 |
의 성질
|
![{\displaystyle 0\leq p<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd9ada1b1951e8892f14b77b1398bda4ee4451e) |
-위상 벡터 공간 ( -국소 볼록 공간이 아님)
|
![{\displaystyle 1\leq p<2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed25e7c0fc423b24b5cdf72f82f8111b09d0cce) |
-바나흐 공간
|
![{\displaystyle p=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62e4100b94c1939c67f2d4b8580d26c78106c44) |
분해 가능 -힐베르트 공간
|
![{\displaystyle 2<p\leq \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd01f4929958f365b5d367d764f9db9a333dd5bb) |
-바나흐 공간
|
집합
속의 원소
가 주어졌으며,
![{\displaystyle \mu (S)={\begin{cases}1&S\ni x_{0}\\0&S\not \ni x_{0}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5c1c377fdafd6d629c7cb3d52e667156982728)
라고 하자. 그렇다면,
에 대하여,
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c16e4811dabfd680367cf1dce4aba31886d739)
![{\displaystyle \|f\|_{p}=|f(x_{0})|\qquad (0<p\leq \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ac54be36e5f6d0ef1258a4687e454e1bcd747a)
"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.
공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).[5]:V.83, Note historique 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.[5]:V.84, Note historique
힐베르트의 이론을
로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.[6]:§3, 457–459[5]:V.86, Note historique 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호
를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성
(
)을 증명하였다.