ប៉ារ៉ាបូល
អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិក្រិចបានរកឃើញជំពូកកោនិចនៅចន្លោះ៣០០ឆ្នាំ និង ៦០០ឆ្នាំមុនគ.ស ហើយក៏បានរកឃើញមុនគេបង្អស់ពីលក្ខណៈធរណីមាត្ររបស់កោនិច។ នៅដើមសតវត្សទី១៧ ការអនុវត្តកោនិចបានចាប់ផ្តើមឡើងលើសកលលោក ហើយមានតួនាទីសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍផ្នែកគណនា។ ផ្នែកមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់កោនិចគឺរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូល អេលីប និង អ៊ីពែរបូល។
ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំនុំចំនុច
ក្នុងប្លង់ដែលនៅស្មើចំងាយពីចំនុចនឹងមួយ និងពីរបន្ទាត់នឹងមួយ។
- ចំនុចនឹងមួយនោះហៅថាកំណុំនៃប៉ារ៉ាបូល។
- បន្ទាត់នឹងនោះហៅថាបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល។
ចំនុចកណ្តាលរវាងកំនុំ និងចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ហៅថាកំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល។ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ និង កំពូលហៅថា អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ឬ អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល។
តាមនិយមន័យប៉ារ៉ាបូល យើងអាចទាញទ្រឹស្តីបទសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស
ឬ អ័ក្ស
ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ។
ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល
និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស
មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា
។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។
ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល
និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស
មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា
។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក។
កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះមានចំងាយ P ឯកតាពីកំពូល។ p ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត។
យើងស្រាយបញ្ជាក់តែករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស
ហើយកំណុំស្ថិតនៅលើកំពូលមានន័យថា
។
បើ
ជាចំនុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល នោះ ចំនុច
ស្មើចំងាយពីកំនុំ
និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស
។
តាមរូបមន្ត ចំងាយរវាងពីរចំនុច និង ចម្ងាយរវាងចំណុច និង បន្ទាត់។
គេបាន
![{\displaystyle {\sqrt {(x-h)^{2}+[y-(k+p)]^{2}}}\,=\,|y-(k-p)|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc694673a8677eeb00922dd4e7953e5ec80c1324)
![{\displaystyle (x-h)^{2}+[y-(k+p)]^{2}\,=\,[y-(k-p)]^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee98ec58910cf5b461f6e9028957b3691fbf1d1a)
![{\displaystyle (x-h)^{2}+y^{2}-2y(k+p)+(k+p)^{2}\,=\,y^{2}-2y(k-p)+(k-p)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3c3a65a756b4f70f423c7e3d9e904804ee6476)
![{\displaystyle (x-h)^{2}-2yk-2py+k^{2}-2pk+p^{2}\,=\,-2yk+2py+k^{2}+2pk+p^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8977031e6ff8deec9687cba2e68e5824ac99d787)
![{\displaystyle (x-h)^{2}-2py+2pk\,=\,2py-2pk\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f83f23cb902406b311cf660b1ddc33abddc42f)
។ ដូច្នេះ
។
ការរកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល
[កែប្រែ]
ឧទាហរណ៍១ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (2;1) និង កំនុំ(2;4) ។
- ចំលើយ ដោយអាប់ស៊ីសកំពូល និង កំនុំស្មើគ្នា អរដោនេខុសគ្នា ហើយអ័ក្សឆ្លុះកាត់តាមកំពូល និង កំនុំ នោះអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលជាអ័ក្សឈរ។
គេបានសមីការ
។ ដែល
។
ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ
។
ឧទាហរណ៍២ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (-2;1) និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស
។
- ចំលើយ ដោយ
នោះបន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ។ គេបានសមីការ
(1)
ដែល
ដោយ
នាំអោយ
។ ជំនួស
និង
ក្នុងសមីការ (1) គេបាន
។
ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ
។
ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការប៉ារ៉ាបូល
[កែប្រែ]
សមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូលមានរាង
រឺ
។
ឧទាហរណ៍១ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល
ជាទំរង់ស្តង់ដា។
គេមាន
។
ដូចនេះ
ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។
ឧទាហរណ៍២ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល
ជាទំរង់ស្តង់ដា ។
គេមាន
។
ដូចនេះ
ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។
ការរកកំនុំ និង កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល
[កែប្រែ]
ឧទាហរណ៍១ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល
។
គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង 2 គេបាន
![{\displaystyle 2y=-x^{2}-2x+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eddc0163499f5eb4c5c2e5405721a01da08390)
![{\displaystyle 2y=1-(x^{2}+2x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c17da06368271f82079129fa1ae06cc57f788e9)
![{\displaystyle 2y=1-(x^{2}+2x+1-1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b70a657889e98432fd048ae48c06848d37879c)
![{\displaystyle 2y=1-[(x+1)^{2}-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf42ef388acf4a87116525ab5e5ba90627d0af22)
![{\displaystyle (x+1)^{2}=2-2y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f964061c2bef46e70c7d5767ade3cb25ee2206ba)
។
ប្រៀបធៀបសមីការ
និងសមីការ
គេបាន
។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល
។
ដោយ
នាំអោយ
។
នាំអោយកំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល
។
ឧទាហរណ៍២ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល
។
គេមាន ![{\displaystyle y^{2}+y-2x+{\frac {41}{4}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe8b971cbc2554e719a3221afe315971e8006bb)
![{\displaystyle y^{2}+y=2x-{\frac {41}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce487cdef7780c3351cb962a87c1591bbdf9f9e8)
![{\displaystyle y^{2}+y+{\frac {1}{4}}=2x-{\frac {41}{4}}+{\frac {1}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61d409c10bd6464ccf067e73abb130c53426411)
![{\displaystyle \left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2x-{\frac {40}{4}}=2x-10\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d561bf14bab53bd0b17dbf3c8d9d10fe6fa6daa)
![{\displaystyle \left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2(x-5)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8731e3826166e065f4ca488a37c744ddd641f36)
ប្រៀបធៀបសមីការ
និងទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល
។
គេបាន
។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល
។
ដោយ
នាំអោយ
។ ដូចនេះ កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល
។