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この項目では、数学のモーメントについて説明しています。確率論のモーメントについては「モーメント (確率論)」を、物理量のモーメントについては「モーメント」をご覧ください。 |
数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率(せきりつ)とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。
実変数 x に関する関数 f(x) の n 次モーメント
は、
![{\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24086127f0a38feca6f545200ed89d56e0cae54c)
で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 f(x) は一意に決定される。
は f を密度関数とする測度の重心を表している。
関数 f(x) の c 周りの n 次モーメント
は、
![{\displaystyle \mu _{n}^{(c)}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b9f79bc599cd11ba7422280387785e1feae661)
で表される。
重心周りのモーメント μn = μ(μ)n を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。
確率密度関数 f(x) のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。
- 全測度は1:
。
は x の平均値。
は分散、
は標準偏差。
は歪度。
は尖度。
変量統計における、データ x1, …, xN のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では
![{\displaystyle \mu _{n}^{(0)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce30de970048cb06ca5b1cc852c63df81c062df3)
と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。
もう1つの変量統計のモーメントの定義では
![{\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9898dc8f849be31a3ef624733012739d5b3d5c0c)
と表される。
この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。
。
は平均値。
は分散、
は標準偏差。
は歪度。
は尖度。
2変数関数 f(x, y) の (m + n) 次モーメント
は、
![{\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{m}y^{n}f(x,y)\,dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e0eb6c332d8683ac70c6443151018710c8875b)
または、デジタル画像に対しては、
![{\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\sum _{x}\sum _{y}x^{m}y^{n}f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42217376d8cf47db1080e412ffe73e5342cceaf8)
で表される。
2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。
画像のモーメントには、次のような性質がある。
は面積(ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。)。
- 点
は重心。
- 慣性主軸(周りの2次モーメントが最小になる直線)は重心を通り、傾きは
で、θ は
を満たす。
- 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを
で割った値は拡大縮小に対し不変。
モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。