Numero plastico
Numero plastico | |
---|---|
Simbolo | |
Valore | 1,3247179572447460259609088... (sequenza A060006 dell'OEIS) |
Frazione continua | [1, 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, ...] (sequenza A072117 dell'OEIS) |
Insieme | numeri algebrici irrazionali |
Costanti correlate | sezione aurea |
Il numero plastico (anche noto come costante plastica)[1][2][3] è l'unica soluzione reale dell'equazione
ed ha il valore
il cui sviluppo decimale inizia con 1,324717957...
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Padovan_triangles_%281%29.png/350px-Padovan_triangles_%281%29.png)
Il numero plastico è il limite del rapporto dei termini successivi della successione di Padovan e della successione di Perrin.
Il numero plastico è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Successioni
[modifica | modifica wikitesto]Le potenze del numero plastico A(n) = ρn soddisfano la relazione di ricorrenza lineare del terzo ordine A(n) = A(n − 2) + A(n − 3) per n > 2. Quindi è il rapporto limite di termini successivi di qualsiasi successione di interi (diversi da zero) che soddisfa questa ricorrenza come i numeri di Cordonnier (più conosciuti come termini della successione di Padovan), i numeri di Perrin e i numeri di Van der Laan, ed è correlato a queste successioni come il numero aureo con la successione di Fibonacci e con i numeri di Lucas, così come il numero d'argento è correlato alla successione di Pell.[4]
Il numero plastico può essere scritto come radicale continuo nel seguente modo:[5]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Plastic_number_square_spiral.svg/220px-Plastic_number_square_spiral.svg.png)
Teoria dei numeri
[modifica | modifica wikitesto]Siccome il numero plastico ha come polinomio minimo è anche una soluzione dell'equazione polinomiale per ogni polinomio che è multiplo di ma non per qualunque altro polinomio a coefficienti interi. Poiché il discriminante del suo polinomio minimo è uguale a il suo campo di spezzamento è Questo campo è anche il campo di classe di Hilbert di
Esso è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan. I suoi coniugati algebrici sono
di modulo circa [6] Questo valore corrisponde anche a visto che il prodotto delle tre radici del polinomio minimo è 1.
Trigonometria
[modifica | modifica wikitesto]Il numero plastico può essere scritto in termini di coseno iperbolico e del suo inverso:
Geometria
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Plastic_square_partitions.svg/330px-Plastic_square_partitions.svg.png)
Esistono esattamente tre modi per suddividere un quadrato in tre rettangoli simili:[7][8]
- La soluzione banale che consiste in tre rettangoli congruenti con rapporto d'aspetto 3:1.
- La soluzione in cui due dei tre rettangoli sono congruenti e un terzo rettangolo con i lati lunghi il doppio della coppia congruente e in cui i rettangoli hanno rapporto d'aspetto 3:2.
- La soluzione in cui i tre rettangoli sono reciprocamente non congruenti (tutti di dimensioni diverse) e in cui hanno rapporto d'aspetto I rapporti delle dimensioni lineari dei tre rettangoli in questo caso sono: (grande:medio); (medio:piccolo); e (grande:piccolo). Il lato lungo, posto internamente, del rettangolo più grande (la linea di faglia del quadrato) divide due dei quattro bordi del quadrato in due segmenti che si trovano ciascuno in rapporto con l'altro. Il lato corto del rettangolo medio coincidente con il lato lungo del piccolo rettangolo divide il lato del quadrato in due segmenti che si trovano nel rapporto
Il fatto che un rettangolo di proporzioni possa essere utilizzato per dissezioni di un quadrato in rettangoli simili equivale a una proprietà algebrica del numero relativo al teorema di Routh – Hurwitz per la quale tutti i suoi coniugati hanno una parte reale positiva.[9][10]
Storia e nome
[modifica | modifica wikitesto]L'architetto olandese e monaco benedettino Dom Hans van der Laan ha dato il nome numero di plastica (in olandese het plastische getal) a questo numero nel 1928. Nel 1924, l'ingegnere francese Gérard Cordonnier aveva già scoperto il numero e lo aveva chiamato "il numero radiante" (ancora in francese si usa l'espressione le nombre radiante). A differenza dei nomi di numero aureo e numero d'argento, la parola plastico non è stata intesa da van der Laan per riferirsi a una sostanza specifica, ma piuttosto nel suo senso aggettivale di qualcosa a cui si può dare una forma tridimensionale.[11] Questo, secondo Richard Padovan, è perché i rapporti caratteristici del numero, 3/4 e 1/7, si riferiscono ai limiti della percezione umana nel mettere in relazione una dimensione fisica con un'altra. Van der Laan progettò nel 1967 la chiesa abbazia di Mamelis con queste proporzioni numeriche.[12]
Curiosità
[modifica | modifica wikitesto]Il matematico Donald Knuth, raccogliendo una proposta di chiamare questo numero phi-alto ha creato un carattere simile al greco phi ("φ") ma con il cerchio alto sul gambo così da somigliare alla lettera pari ("Ⴔ") dell'alfabeto Asomtavruli.[13]
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Giorgio Balzarotti e Paolo P. Lava, 103 curiosità matematiche, Hoepli, 2010, p. 58, ISBN 978-88-203-4556-3.
- ^ Michel Remery, Mystery and Matter: On the Relationship Between Liturgy and Architecture in the Thought of Dom Hans Van Der Laan OSB, Brill, 2010, p. 573, ISBN 978-90-04-18296-7.
- ^ Alberto Ferlenga e Paola Verde, Dom Hans van der Laan: le opere, gli scritti, a cura di Hans van der Laan, collana Documenti di architettura, vol. 128, Electa, 2000, p. 12.
- ^ ;Template:Harvtxt.
- ^ (EN) Eric W. Weisstein, Numero plastico, in MathWorld, Wolfram Research.
- ^ (sequence A191909 in the OEIS)
- ^ Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, p. 118
- ^ Vera W. de Spinadel e Redondo Buitrago Antonia, Towards van der Laan's plastic number in the plane (PDF), in Journal for Geometry and Graphics, vol. 13, n. 2, 2009, pp. 163–175..
- ^ C. Freiling e D. Rinne, Tiling a square with similar rectangles, in Mathematical Research Letters, vol. 1, n. 5, 1994, pp. 547–558, DOI:10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3.
- ^ M. Laczkovich e G. Szekeres, Tilings of the square with similar rectangles, in Discrete and Computational Geometry, vol. 13, 3–4, 1995, pp. 569–572, DOI:10.1007/BF02574063.
- ^ Template:Harvtxt; Template:Harvtxt.
- ^ Template:Harvtxt.
- ^ Six challenging dissection tasks (PDF), in Quantum, vol. 4, n. 5, maggio–June 1994, pp. 26–27.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Midhat J. Gazalé, Gnomon, 1999 Princeton University Press.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero plastico
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Numero plastico, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Tales of a Neglected Number di Ian Stewart