In algebra lineare una matrice quadrata
si dice nilpotente se esiste un intero non negativo
tale che
![{\displaystyle A^{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c378727c192ac42da8889d6328049f976d64c4d1)
Il più piccolo
per cui questo è vero è detto ordine (o indice) di nilpotenza di
Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli, infatti, sia
un autovalore di
, allora esiste un vettore
(un autovettore di
) tale che
, da cui:
![{\displaystyle A^{n}\mathbf {v} =\lambda ^{n}\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4f634d7c37d12a4a1667fdcd972b174eac459a)
siccome
, questo accade quando:
![{\displaystyle \lambda ^{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4b42793ab07d50e384c57d700b47b8288f66b6)
da cui segue
Di conseguenza una matrice nilpotente ha traccia e determinante nulli.
La matrice
![{\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0047a87eef2857fd594ee0b6dd5a258c7ba40545)
è nilpotente, infatti:
![{\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ac1f84828970db9aca82ef2ebb15e70f1a13a0)
Anche la matrice seguente è nilpotente:
![{\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\2&2&0&0\\4&3&1&0\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992b377d49a9cc129e2a36cbdd260f6f7772c233)
infatti:
![{\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&0&0&0\\5&2&0&0\\\end{bmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafc7aa8442c010921a0c0d9d1406cbfe2ea2bef)
![{\displaystyle M^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&0&0&0\\\end{bmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40beb26c1d2092bc64d9cdfcace826caedcbb815)
![{\displaystyle M^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb2dafb178445348504ef00d5ef6eff4097e48e)
Il blocco di Jordan di ordine
associato all'autovalore
è una matrice nilpotente con ordine di nilpotenza
:
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e9d3dee92fb93ab55018e8722b91a45ec98fc2)
In generale, tutte le matrici triangolari
con ogni elemento sulla diagonale principale uguale a
sono nilpotenti di ordine
.
Non è vero però che le matrici nilpotenti siano necessariamente triangolari. Ad esempio, la seguente matrice
non è triangolare ma è nilpotente di ordine
:
![{\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&3&0\\0&0&0\\0&9&0\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bae078ea3bfa30603410ebec75ac335876a2a3)
infatti:
![{\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9b0950cc0a7ad6b33a317dc791722381baea00)
Se
è una matrice di ordine
nilpotente di ordine
, allora
.
Siccome
è nilpotente di ordine
si ha
, per il teorema di teorema di Hamilton-Cayley si ha che
soddisfa il suo polinomio caratteristico
. Siccome
e
si ha
e
(per Hamilton-Cayley), e quindi
.
Tutte le matrici simili a una matrice nilpotente sono a loro volta nilpotenti.
Si considerino due matrici simili
e
con
nilpotente di ordine
In quanto simili, esiste una matrice invertibile
tale che
. Allora
![{\displaystyle =P^{-1}A(PP^{-1})A(PP^{-1})\cdots (PP^{-1})AP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e91195dc868b89d99395b58d52f9cbb31a922af)
![{\displaystyle =P^{-1}A^{n}P=P^{-1}0P=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fdc6c2c7471ed6e5e14e10575ace5bfd9544e2)
Quindi anche
è nilpotente.
Consideriamo uno spazio vettoriale
, definito su un campo e di dimensione
, e sia
un endomorfismo, allora possiamo rappresentare
tramite una matrice quadrata di ordine
, sia essa
. Diciamo che
è un endomorfismo nilpotente di ordine
se e solo se lo è la matrice rappresentativa
.
- Paolo Dulio, Walter Pacco, Algebra lineare e geometria analitica, Società Editrice Esculapio, ISBN 978-88-7488-838-2.