Forma canonica di Jordan
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In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.[1]
La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).
Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Un blocco di Jordan di ordine è una matrice triangolare superiore con righe costituita nel seguente modo:
in cui ogni elemento della diagonale è uguale a ed in ogni posizione si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è , e quindi ha come unico autovalore con la molteplicità algebrica . D'altra parte, l'autospazio relativo a è:
avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.
Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi di Jordan, cioè del tipo:
dove è un blocco di Jordan con autovalore . Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a .
La molteplicità geometrica di , definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore . D'altra parte, la molteplicità algebrica di , definita come la molteplicità della radice nel polinomio caratteristico di , è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore .
In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.
Teorema di Jordan
[modifica | modifica wikitesto]Si dice che una matrice quadrata con elementi in un campo ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di . Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se è algebricamente chiuso, ad esempio se è il campo dei numeri complessi.
Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:
- Sia una matrice quadrata con elementi in avente tutti gli autovalori nel campo. Allora è simile ad una matrice di Jordan.
- Due matrici di Jordan e sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice
Il suo polinomio caratteristico è , quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con e le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore , valgono sempre le seguenti disuguaglianze:
Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di Jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:
Segue quindi che non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:
Polinomio minimo
[modifica | modifica wikitesto]Il polinomio minimo di una matrice è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan . Infatti si decompone come:
dove sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di , e è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore .
Ad esempio, la seguente matrice:
ha come polinomio caratteristico e come polinomio minimo.
Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici
- hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili.
Note
[modifica | modifica wikitesto]Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Nelson Dunford e Jacob T. Schwartz, Linear Operators, Part 1: General Theory, Interscience, 1958, ISBN 0-471-60848-3.
- (EN) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Freeman, 1978.
- Letterio Gatto, Un'introduzione amichevole alla forma canonica di Jordan, CLUT, 1998, ISBN 88-7992-139-8.
- (EN) Gene H. Golub e Charles F. Van Loan, Matrix Computations, 3ª ed., Johns Hopkins University Press, 1996.
- (EN) Gene H. Golub e J. H. Wilkinson, Ill-Conditioned Eigensystems and the Computation of the Jordan Canonical Form, in SIAM Review, vol. 18, n. 4, 1976, pp. 578-619, DOI:10.1137/1018113.
- (EN) Igor' R. Šafarevič e Alexey O. Remizov, Linear Algebra and Geometry, Springer, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Autovettore e autovalore
- Decomposizione di una matrice
- Diagonalizzabilità
- Matrice diagonale
- Matrice quadrata
- Matrice triangolare
- Polinomio caratteristico
- Polinomio minimo
- Similitudine tra matrici
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Forma canonica di Jordan, su MathWorld, Wolfram Research.