Doppio pendolo

Il doppio pendolo è costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro.

In fisica classica, in particolare in meccanica classica, il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro e liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto risultante è caotico.

Analisi

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza $\ell$ e le masse $m$, e il moto è limitato ad un piano.

Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza $\ell$ e massa $m$.

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è $\textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}$. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da $\textstyle I={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}$.

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

$x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},$

$y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1},$

mentre per il secondo pendolo si ha

$x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),$

$y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).$

Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema.

Lagrangiana

La lagrangiana è

${\begin{aligned}L&=\mathrm {Energia~cinetica} -\mathrm {Energia~potenziale} \\&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

Il primo termine è l'energia cinetica di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale assumendo una accelerazione costante $g$. La notazione ${\dot {x}}$ indica la derivata rispetto al tempo (notazione di Newton).

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova

$L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$

Moto di un doppio pendolo composto (calcolato con integrazione numerica delle equazioni del moto).

Una luce all'estremità del doppio pendolo lascia una traccia del proprio movimento in questa foto a lunga esposizione. L'evoluzione caotica del sistema crea una figura complessa e apparentemente disordinata.

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono momenti generalizzati conservati. I due momenti possono essere scritti come

$p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]$

e

$p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].$

Invertendo queste espressioni si trova

${{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}$

e

${{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$

Le altre equazioni del moto sono

${{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]$

e

${{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].$

Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ₁ e θ₂ in funzione del tempo. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con i metodi di Runge-Kutta.

Moto caotico

Grafico del tempo necessario perché il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali

Il doppio pendolo si muove con moto caotico, cioè la sua evoluzione è molto sensibile alle condizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ₁ (direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ₂ (direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro $10{\sqrt {\ell /g}}$ (in verde), entro $100{\sqrt {\ell /g}}$ (rosso), $1000{\sqrt {\ell /g}}$ (viola) o $10000{\sqrt {\ell /g}}$ (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro $10000{\sqrt {\ell /g}}$ sono in bianco.

Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.\,$

All'interno della regione definita da questa curva, cioè se

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,\,$

è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di edifici antisismici. L'idea è di vedere l'intero edificio come un pendolo invertito, e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwanese Taipei 101, è dotato alla sua sommità di un mass damper di 660 tonnellate.

Bibliografia

• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, 2ª ed., McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1986, ISBN 0-07-041342-8.

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul doppio pendolo

Collegamenti esterni

• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
• Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
• Northwestern University, Double Pendulum Archiviato il 3 giugno 2007 in Internet Archive., (Java applet simulation.)
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).
• Animazioni e spiegazioni di Mike Wheatland (Univ. Sydney): [1], [2]
• Video di un doppio pendolo con tre condizioni iniziali (quasi) identiche.
• Simulazioni da www.myphysicslab.com
• Simulationi, equazioni e spiegazioni del Pendolo di Rott
• Video di confronto di un doppio pendolo con le stesse condizioni iniziali su YouTube
• Double Pendulum Simulator - Simulatore opensource scritto in C++ usando il Qt tookit.
• Vadas Gintautas, Alfred Hübler (2007). Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201 Articolo che presenta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.