Congettura di Bunjakovskij
La congettura di Bunjakovskij, formulata nel 1857 dal matematico russo Viktor Bunjakovskij, afferma che per ogni polinomio a coefficienti interi p tale per cui:
- p è irriducibile
- p è di grado 2 o maggiore
- gli infiniti valori p(n) generati al variare dell'argomento nei naturali sono coprimi (ovvero hanno massimo comun divisore pari a uno)
la sequenza p(n) contiene infiniti numeri primi. I polinomi che soddisfano le summenzionate condizioni sono anche noti come polinomi di Bunjakovskij.
La seconda condizione esclude i polinomi irriducibili di primo grado, per i quali l'asserto era già stato dimostrato nel 1835 da Dirichlet (teorema di Dirichlet).
La terza condizione esclude invece i polinomi per i quali l'asserto è banalmente falso: se i p(n) sono tutti multipli di un comune divisore d maggiore di 1, l'insieme può contenere al più un unico numero primo.[1] Un esempio è il polinomio , i cui valori generati sono tutti pari.
La congettura di Bunjakovskij è una generalizzazione della quinta congettura di Hardy-Littlewood, la quale afferma che la sequenza contiene infiniti numeri primi:
| n | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 14 | 16 | 20 | 24 | 26 | 36 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 + 1 | 2 | 5 | 17 | 37 | 101 | 197 | 257 | 401 | 577 | 677 | 1297 | ... |
Allo stato attuale non solo non è noto se i polinomi di Bunjakovskij generino infiniti numeri primi, ma non è nemmeno provato che tali polinomi generino sempre almeno un numero primo.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ L'unico multiplo del divisore comune d che può essere primo è d stesso.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Congettura di Bunjakovskij, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) S. Lang, Bunyakovskii conjecture, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- V. Bouniakowsky, Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs, in Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg, vol. 6, 1857, pp. 305–329.
