Relasi ekuivalensi
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Set_partitions_5%3B_matrices.svg/220px-Set_partitions_5%3B_matrices.svg.png)
Dalam matematika, relasi ekuivalensi adalah relasi biner yang bersifat reflektif, simetris dan transitif. Relasi "sama dengan" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek a, b, dan c:
- a = a (sifat reflektif),
- jika a = b maka b = a (sifat simetris), dan
- jika a = b dan b = c maka a = c (sifat transitif).
Sebagai akibat dari sifat reflektif, simetris, dan transitif, semua relasi ekuivalensi dapat menghasilkan partisi dari himpunan pendasar menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling lepas. Dua anggota dari suatu himpunan disebut ekuivalen jika dan hanya jika mereka merupakan anggota kelas ekuivalensi yang sama.
Notasi
[sunting | sunting sumber]Berbagai notasi digunakan untuk menunjukkan bahwa dua anggota himpunan a dan b bersifat ekuivalen terhadap relasi ekuivalen R; biasanya "a ~ b" dan "a ≡ b", yang digunakan ketika R bersifat tersirat, dan variasi "a ~R b", "a ≡R b", atau "aRb" untuk menyebutkan R secara tersurat. Sifat tidak ekuivalen bisa ditulis "a ≁ b" atau "".
Definisi
[sunting | sunting sumber]Suatu relasi biner ~ pada himpunan X disebut merupakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika bersifat reflektif, simetris dan transitif. Artinya, untuk semua a, b dan c dalam X:
- a ~ a. (Reflektivitas)
- a ~ b jika dan hanya jika b ~ a. (Simetri)
- jika a ~ b dan b ~ c maka a ~ c. (Transitivitas)
X bersama dengan relasi ~ disebut sebuah setoid. Kelas ekuivalensi dari di bawah ~, dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai .
Contoh
[sunting | sunting sumber]Contoh sederhana
[sunting | sunting sumber]Anggap himpunan memiliki relasi ekuivalensi . Himpunan dan adalah kelas ekuivalensi dari relasi ini.
Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah . Himpunan ini adalah partisi dari himpunan .
Relasi ekuivalensi
[sunting | sunting sumber]Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:
- "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, sama dengan .[1]
- "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
- "kongruen dengan" pada himpunan semua segitiga.
- "kongruen modulo n dengan" pada bilangan bulat.[1]
- "Memiliki nilai mutlak yang sama dengan" pada himpunan bilangan real.
- "Memiliki nilai kosinus yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.
Relasi yang bukan ekuivalensi
[sunting | sunting sumber]- Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, namun tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
- Relasi "memiliki faktor pembagi bersama yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, namun tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.
Kelas ekuivalensi, himpunan hasil bagi, dan partisi
[sunting | sunting sumber]Anggap . Ada beberapa definisi
Kelas ekuivalensi
[sunting | sunting sumber]Sebuah subhimpunan dari , dengan tetap berlaku untuk semua namun tidak pernah ketika , disebut sebagai sebuah kelas ekuivalensi dari . Anggap menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen . Semua elemen di yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.
Himpunan hasil bagi
[sunting | sunting sumber]Himpunan semua kelas ekuivalensi dari , yang dinyatakan sebagai , adalah himpunan hasil bagi dari . Jika adalah ruang topologis, ada cara mudah mengubah menjadi ruang topologis. Lihat ruang hasil bagi untuk detailnya.
Teorema dasar relasi ekuivalensi
[sunting | sunting sumber]Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:[2][3][4]
- Relasi ekuivalensi pada himpunan mempartisi himpunan tersebut.
- Kebalikannya, untuk setiap partisi himpunan , terdapat suatu relasi ekuivalensi yang sesuai pada himpunan .
Anggap sebagai partisi dari . Pada kedua kasus, sebuah himpunan di adalah kelas ekuivalensi dari . Karena setiap elemen di terletak di tepat satu himpunan di , dan karena setiap himpunan di identik ke kelas ekuivalensi dari , maka setiap elemen di terletak di tepat satu kelas ekuivalensi dari . Dengan demikian, terdapat bijeksi antara himpunan semua relasi ekuivalensi di dengan himpunan semua partisi dari .
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ a b "7.3: Equivalence Classes". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2017-09-20. Diakses tanggal 2021-02-10.
- ^ Wallace, D. A. R. (1998). Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag. hlm. 31.
- ^ Dummit, D. S.; Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3). John Wiley & Sons. hlm. 3.
- ^ Hrbacek, Karell; Jech, Thomas (1999). Introduction to Set Theory (edisi ke-3). Marcel Dekker. hlm. 29-32.
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Equivalence relation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Equivalence relation di PlanetMath