Barisan dan deret geometri
Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.[1]
Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
- , , , ,
dengan adalah bilangan rasio pengali () dan adalah faktor skala.
Suku barisan geometri
[sunting | sunting sumber]Misal adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai
Bukti |
---|
Kita misalkan , dan . Kita teruskan untuk . Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu
|
Lebih umumnya, diberikan dan misal suku awal adalah . Dari hasil di atas, diperoleh
dan
- .[1]
Rasio
[sunting | sunting sumber]Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan
- .
Suku tengah
[sunting | sunting sumber]Deret geometri
[sunting | sunting sumber]Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati
dengan adalah deret geometri, dan adalah suku pertama.
Bukti deret geometri | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kita mulai dari kasus di mana
Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan membuktikan bahwa
Cara yang serupa untuk kasus . |
Jika , maka deret geometri didapati
- .[2]
Deret geometri takhingga
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Geometric_progression_convergence_diagram.svg/350px-Geometric_progression_convergence_diagram.svg.png)
Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan
untuk . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah serta . Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah
- .
Bukti deret geometri, kasus |
---|
![]()
Ambil pada kedua ruas, diperoleh Karena diketahui , maka . Karena itu,
|
Untuk kasus , tidak mempunyai hasil (karena bernilai ) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.[4][5]
Barisan dan deret geometri bertingkat
[sunting | sunting sumber]![]() | Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya. |
- Jika bertingkat 2:
- Jika bertingkat 3:
dst
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]- Barisan
- Deret (matematika)
- Barisan dan deret aritmetika
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, salah satu bentuk deret
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ a b c Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 10.
- ^ a b Drs. Win Konadi, M.Si, Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal
- ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12–13.
- ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12.
- ^ H. Karso, Barisan dan Deret, hlm. 14.
Bacaan lebih lanjut
[sunting | sunting sumber]- Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X. (Indonesia)
- Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8. (Indonesia)