Էյլերի բնութագիր

Էյլերի բնութագիր կամ Էյլեր-Պուանկարայի բնութագիր, բնութագիր է տոպոլոգիական տարածության. Էյլերի տարածության բնութագիրը $X$ սովորաբար նշանակում են $\chi (X)$։

Սահմանում

• Վերջավոր Կոմլեքս վանդակների համար (մասնավորապես վերջավոր симплициального комплекса) համար Էյլերի բնութագիրը կարող է սահմանվել ինչպես նշանափոփոխման գումար

  $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

որտեղ $k_{i}$ ցույց է տալիս վանդակների թվի չափականությունը $i$.

• Ցանկացած տոպոլոգիական տարածության Էյլերի բնութագիրը կարող է լինել որոշված Բետտի թվի միջոցով $b_{n}$ ինչպես նշանափոփոխման գումար։

  $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Այդ սահմանումը իմաստ ունի միայն, եթե Բետտի թիվը վերջավոր է և բավականին շատ թվացուցիչների համար զրոյանում են։

• Վերջին սահմանումը ընդհանրացնում է նախորդը և ընդհանրացնում է ուրիշ ցանկացած գործակիցներով հոմոլոգիան

Հատկություն

• Էյլերի բնութագիրը հանդիսանում է հոմոտոպիկ ինվարիանտ՝այսինքն պահպանվում է հոմոտոպիկ համարժեքությունը տապալոգիական տարածությունում։
  • Մասնավորապես, Էյլերի բնութագիրը տոպոլագիական ինվարիանտ է։

Բազմանիստերի էյլերյան բնութագիրը

• Երկչափանի տոպոլոգիական բազմանիստի Էյլերյան բնութագիրը կարող է հաշվել։ $\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}$ բանաձևով,որտեղ где Г, Р и В համապատասխանաբար նիստերի, կողերի և գագաթների թվն է։ մ ասնավորապես, միակցված բազմանիստի համար ճիշտ է Էյլերի բանաձևը։
• : $\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=\chi (S^{2})=2.$

Օրինակ, Էյլերի բնութագիրը խորանարդի համար հավասար է 6 − 12 + 8 = 2, իսկ եռանկյուն բուրգի համար՝ 4 − 6 + 4 = 2.

Գաուս-Բոննի թեորեմը

Երկչափ կոմպակտ կողմորոշված ռիմանյան բազմակերպության (մակերևույթի) $S$ համար առանց սահմանների գոյություն ունի Գաուս -Բոննի բանաձևը, կապում է էյլերյան բնութագիրը $\chi (S)$ գաուսյան թեքվածության $K$ բազմակերպության հետ։ $\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),$ որտեղ$d\sigma$ — մակերևույթի մակերեսի տարր է $S$.

• Գոյություն ունի Գաուս-Բոննի ընդհանրացնող բանաձև երկչափ բազմակերպության եզրերի համար։
• Գոյություն ունի Գաուս -Բոննի ընդհանրացող բանաձև քառաչափ ռիմանյան բազմակերպության հայտնի բազմակերպությունը, ինչպես Գաուս-Բոննի-Չեռնի թեորեմ կամ Գաուս-Բոննի ընդհանրացող բանաձև։
• Գոյություն ունի նույնպես Գաուս-Բոննի թեորեմի դիսկրետ անալոգը,համաձայն,որի Էյլերի բնութագիրը հավասար է բազմանիստի դեֆեկտների дефектов полиэдра գումարին, բաժանած $2\pi$.
• Գոյություն ունի Գաուս-Բոնի բանաձևի կոմբինոտորական անալոգը։

Կողմնորոշիչ և ոչ կողմորոշիչ մակերևույթներ

• Էյլերի բնութագիրը կողնորոշված գունդը ձեռքերով արտահայտում է բանաձևով $\chi (X)=2-2g$, որտեղ g-ն ձեռքերի թիվն է, ոչ կողմնորոշված մակերևույթի համար բանաձևը երևում է, ինչպես $\chi (X)=2-g$.

Էյլերի բնութագրի մեծությունը

Անվանումը	Տեսքը	Էյլերի բնութագիրը
Հատված		1
Շրջանագիծ		0
Շրջան		1
Գունդ		2
Տոր (Երկու շրջանագծերի արտադրյալ)		0
Կրկնակի տոր		−2
Եռակի տոր		−4
Պրոյեկտիվ մակերևույթ		1
Մյոբիուսի թերթ		0
Կլայնի շիշ		0
Երկու գնդեր (չկապված)		2 + 2 = 4
Երեք գնդեր		2 + 2 + 2 = 6

Պատմություն

1752 թվականին Էյլերը հրապարակել է բանաձևը, կապելով միմյանց եռչափանի բազմանիստի նիստերը։ Բնագրի աշխատանքում բանաձևը ներկայացվում է $~S+H=A+2$ տեսքով, որտեղ S-ը գագաթների թիվն է, H-ը՝ նիստերի քանակը, A-ն՝ կողերի քանակը։

Ավելի վաղ այդ բանաձևը հանդիպում է Ռընե Դեկարտի ձեռագրերում, հրատարակված XVIII դարում։

1899 թվականին Պուանկարեն ընդհանրացրեց այդ բանաձևը N-չափելի բազմանիստի դեպքում։

$\sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},$

որտեղ $A_{i}$ i-ն չափելի նիստերի, N-ը չափելի բազմանիստի քանակն է։

Եթե ձևականորեն համարենք բազմանիստը իր սեփական միակ նիստի չափականությունն է N,։ Բանաձևը կարելի է գրառել ավելի պարզ տեսքի։

$\sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.$

Գրականություն

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
• Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна