Navier-Stokesove jednadžbe

Navier-Stokesove jednadžbe diferencijalne su jednadžbe dinamike fluida koje se koriste za izračun gibanja viskoznih fluida.

Ime su dobile po francuskom inženjeru i fizičaru Claude-Louisu Navieru i irskom fizičaru i matematičaru Georgeu Gabrielu Stokesu. Razvijane su tijekom nekoliko desetljeća, od 1822. (Navier) do 1842.-1850. (Stokes). Prve korake u tom smjeru napravio je još Leonhard Euler sa svojim Eulerovim jednadžbama iz 1757. godine.

Navier–Stokesove jednadžbe izražavaju zakon očuvanja količine gibanja za newtonovske tekućine i koriste zakon očuvanje mase. Korisne su jer opisuju fiziku mnogih fenomena od znanstvenog i inženjerskog interesa. Mogu se koristiti za modeliranje vremena, oceanskih struja, protoka vode u cijevi i strujanja zraka oko krila. Navier–Stokesove jednadžbe, u svojim potpunim i pojednostavljenim oblicima, pomažu pri projektiranju zrakoplova i automobila, proučavanju protoka krvi, projektiranju elektrana, analizi onečišćenja i mnogim drugim problemima. Zajedno s Maxwellovim jednadžbama mogu se koristiti za modeliranje i proučavanje magnetohidrodinamike.

Matematički su vrlo komplicirane. Čine sustav nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koji u općem smislu, za proizvoljne početne i rubne uvjete nema analitičkog rješenja. Jednadžbe se mogu rješiti samo numeričkim metodama, ali i tamo stabilnost i konvergencija rješenja nije sigurna za proizvoljne početne uvjete. Štoviše, matematički insitut Clay nudi nagradu od milijun dolara onome tko pokaže da glatka rješenja uvijek postoje u tri dimenzije. To je jedan od sedam milenijskih problema u matematici.

Opće jednadžbe mehanike kontinuuma

Navier–Stokesove jednadžbe se izvode pomoću Cauchyevih jednadžbi očuvanja količine gibanja

${\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {g}$

Lijeva strana tu predstavlja materijalnu derivaciju vektora brzine $\mathbf {u}$, $\rho$ predstavlja gustoću fluida,$\nabla$ je Hamiltonov operator, ${\boldsymbol {\sigma }}$ je Cauchyev tenzor naprezanja, a $\mathbf {g}$ gravitacijsko ubrzanje.

Materijalna derivacija je nelinearni operator i definira se kao

${\frac {D}{Dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla$

Zakon očuvanja mase

Općenito se zakoni očuvanja u fizici opisuju diferencijalnom jednadžbom kontinuiteta

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

Tu je$\nabla \cdot$ divergencija polja, $\rho$ gustoća, $\mathbf {j}$ je tok gustoće $(\mathbf {j} =\rho \mathbf {u} )$, a $t$ vrijeme.

U primjeru strujanja fluida zakon očuvanja mase glasi:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$.

Nestlačivi fluidi

Tekućine su vrlo nestlačive tvari, a za plinove koji se gibaju puno sporije od Machove brzine, također se uzima hipoteza nestlačivosti. Za njih se može uzeti da je $\rho =konst.$ pa jednadžba kontinuiteta prelazi u oblik

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

odnosno, takvo strujanje opisano je solenoidalnim vektorskim poljem brzinā $\mathbf {u}$.

Navier-Stokesove jednadžbe

Navier-Stokesove jednadžbe najčešće se zapisuju u sljedećem obliku i čine sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho \mathbf {f}$

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

Prva jednadžba predstavlja zakon očuvanja količine gibanja i može se rastaviti u tri skalarne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Te jednadžbe onda čine sustav od 4 parcijalne diferencijalne jednadžbe s četri nepoznanice, 4 skalarna polja: iznos brzine u smjerovima x, y i z te skalarano polje tlaka $p$.

U gornjoj jednadžbi $\mu$ predstavlja viskoznost, a $\mathbf {f}$ masenu silu.^{[što je to?]}

Prva gornja jednadžba se također može shvatiti kao drugi Newtonov zakon, gdje na lijevoj strani stoji masa (gustoća) puta akceleracija (derivacija brzine po vremenu), a na desnoj sve sile koje utječu na česticu fluida koju promatramo.

Analitički oblik rješenja za opći slučaj ne postoji.