Krivulje drugog reda
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Conic_sections_with_plane.svg/300px-Conic_sections_with_plane.svg.png)
1. parabola,
2. kružnica (dolje) i elipsa (gore),
3. hiperbola.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Conic_Sections.svg/langhr-300px-Conic_Sections.svg.png)
Krivulje drugog reda, konike (prema konus) ili čunjosječnice algebarske su ravninske krivulje drugoga reda nastale presjekom ravnine i kružne dvostruke stožaste plohe. To su kružnica, elipsa, parabola i hiperbola, te njihove degeneracije: par ukrštenih pravaca (ako presječna ravnina prolazi kroz vrh stošca), odnosno par usporednih pravaca (ako se vrh stošca pomakne u beskonačnost). Koja od krivulja će nastati ovisi o kutu koji ravnina zatvara s osi i izvodnicom stošca.
Geometrijski dokaz povezanosti presjeka stošca ravninom s kružnicom, elipsom, hiperbolom i parabolom izveo je francuski matematičar Dandelin sredinom 19. stoljeća. Dokaz se služi tzv. Dandelinovim kuglama.
U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu konike su određene općom jednadžbom:
Na primjer ako je A = C i B = 0, jednadžba opisuje kružnicu.
Konike su određene s 5 točaka. Ako 3 točke konike leže na istom pravcu, konika je degenerirana. Po takvim se krivuljama gibaju nebeska tijela manje mase u gravitacijskome polju nebeskog tijela veće mase.[1]
Uvjet A2 + B 2 +C2 ≠ 0 označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama x, y.
Svojstva konika:
konika | normalna jednadžba | numerički ekscentricitet ε | linearni ekscentricitet e |
---|---|---|---|
kružnica | |||
elipsa | |||
parabola | - | ||
hiperbola |
Neka je r > 0 i S točka u ravnini. Kružnica radijusa r sa središtem u S je skup točaka te ravnine od kojih je svaka od njih za r udaljena od S. Ako je u koordinantnom sustavu x0y točka S (x0, y0) onda jednadžba kružnice glasi
(x-x0) 2 + (y -y0) 2 =r 2
Za (x0, y0) = (0,0) imamo kružnicu s centrom u koordinantnom početku i radijusom r koja glasi
x2 + y 2 = r 2
Jednadžba x2 + y 2 =0 predstavlja točku (0, 0).
Neka je 2a> 0 realan broj ,F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost
│F1 F2│ = 2e < 2a.
Elipsa sa žarištima u F1 i F2 je skup točaka ravni s osobinom da za svaku tačku skupa vrijedi
│F1T│ + │F2 T│= 2 a
Ako točke F1 i F2 leže na x osi sustava x0y i imaju koordinate F1( -e,0) i F2 ( e ,0) jednadžba elipse glasi
b2 x2 + a2 y 2 = a2b 2
Neka je 2a< 2e realan broj, F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost
│F1 F2│= 2e > 2a.
Hiperbola sa žarištima F1 i F2 je skup točaka ravnine s osobinom da za svaku točku T tog skupa vrijedi
│F1T│ - │F2 T│= 2 a
Za F1 ( -e, 0) i F2 (e, 0) vrijedi
b2 x2- a2 y 2 = a2b 2
Neka su u ravnini zadani pravac i točka van tog pravca. Parabola je skup točaka te ravnine od kojih je svaka udaljena od zadanog pravca isto koliko i od zadane točke. Dana točka je žarište, a pravac ravnalica parabole.
Ako je p udaljenost od ravnalice, a žarište je u sustavu x0y i ima koordinate (0, p/2), jednadžba parabole glasi
y2 = 2px