שיטת הטרפז

שיטת הטרפז היא שיטה נומרית המשמשת להערכת אינטגרל מסוים של פונקציה רציפה בתחום סגור, על ידי חישוב שטחים תחת עקומת הפונקציה באמצעות קירוב לטרפזים. זוהי טכניקה בסיסית ופופולרית באנליזה נומרית, המשמשת לחישוב ערכם של אינטגרלים מוגדרים כאשר פתרון אנליטי אינו מעשי או קשה מאוד לחישוב.

שיטת הטרפז מסתמכת על חלוקה של התחום הרצוי לרצועות קטנות, חישוב השטח של כל רצועה בהנחה שהיא קרובה לצורת טרפז, וסיכום השטחים הללו. כך ניתן לקרב את ערך האינטגרל של פונקציה $f(x)$ על התחום הסגור $[a,b]$.

איור מוצג גרף הפונקציה המקורית בכחול וקירוב ליניארי שלה באדום, היוצר טרפז לצורך חישוב השטח.

היסטוריה

מאמר משנת 2016 שפורסם בכתב העת Science מציין כי כלל הטרפז היה בשימוש בבבל לפני שנת 50 לפני הספירה לצורך חישוב אינטגרלים של מהירות כוכב הלכת צדק לאורך מישור המילקה.

נוסחת שיטת הטרפז

עבור פונקציה רציפה $f(x)$ המוגדרת בקטע $[a,b]$, מחלקים את הקטע לרשת של $n$ תתי-קטעים שווים ברוחב $h={\frac {b-a}{n}}$. ערך האינטגרל $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ מוערך באמצעות הסכום:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}\left(f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+f(b)\right)$

כאשר $x_{k}=a+k\cdot h$ הם נקודות החלוקה של התחום.

שגיאה של שיטת הטרפז

שגיאת שיטת הטרפז המורכבת היא ההפרש בין ערך האינטגרל לבין התוצאה הנומרית:

$${\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]$$

בקירוב, השגיאה ניתנת להערכה באמצעות הנוסחה: ${\text{E}}\approx -{\frac {(b-a)h^{2}}{12}}f''(\xi )$

כאשר $\xi$ היא נקודה כלשהי בקטע $[a,b]$.

כמו כן, רמת הדיוק של שיטת הטרפז תלויה במספר תתי-הקטעים $n$ ובמאפייני הפונקציה. עבור פונקציות חלקות, שגיאת שיטת הטרפז קטנה ככל שמספר תתי-הקטעים גדל, והיא תלויה בערכה של הנגזרת השנייה של הפונקציה.

ראו גם

• שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים
• נוסחאות ניוטון-קוטס
• תרבוע גאוסיאני

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שיטת הטרפז בוויקישיתוף

• שיטת הטרפז, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• שיטת הטרפז, באתר MathWorld (באנגלית)

• Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature
• An implementation of trapezoidal quadrature provided by Boost.Math