מעגל חסום

בגאומטריה של המישור, מעגל חסום במצולע הוא מעגל המשיק לכל הצלעות של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חסום: כל המשולשים וכל המצולעים המשוכללים. מלבן (שאינו ריבוע) הוא דוגמה למצולע שאין לו מעגל חסום.

המעגל החסום במשולש

מעגל חסום במשולש

במשולש, מרכז המעגל החסום הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת חוצי הזוויות של המשולש. הסיבה לכך היא שחוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן משתי הצלעות שווים זה לזה, ומרחקו של מרכז המעגל החסום משלוש הצלעות הוא קבוע.

מכיוון שהמעגל כולו נמצא בתוך המשולש, הרי שבפרט מרכזו של המעגל החסום נמצא תמיד בתוך המשולש (להבדיל ממרכז המעגל החוסם שנמצא בתוך המשולש, על אחת הצלעות או מחוץ למשולש, בהתאם לסוג המשולש).

נסמן ב-$p={\frac {a+b+c}{2}}$ את מחצית היקף המשולש. רדיוס המעגל החסום הוא $\ r={\frac {S}{p}}$, כאשר S הוא שטח המשולש, שאותו אפשר לחשב לפי נוסחת הרון $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

משפט אוילר, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: $d^{2}=R\cdot (R-2r)$, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי $R\geq 2r$.

הקטעים המחברים את קודקודי המשולש עם נקודות ההשקה של הצלעות למעגל החסום, נפגשות בנקודה אחת הקרויה נקודת גרגון של המשולש.

במשולש אפשר לחסום אליפסות רבות. האליפסה היחידה הנוגעת בנקודות האמצע של הצלעות נקראת האליפסה החסומה של שטיינר.

מעגל חיצוני

המעגלים הכתומים הם מעגלים חיצוניים למשולש ABC (המעגל הכחול הוא המעגל החסום במשולש זה)

מעגל חיצוני [למשולש], הנקרא לעיתים "מעגל חסום חיצוני" ו"מעגל חסום מבחוץ", הוא מעגל המשיק לאחת מצלעות המשולש ולהארכות שתי צלעותיו האחרות. לעיסוק בקשר בין מרכזי המעגלים החיצוניים, ובינם למרכזי המעגלים החסום והחוסם, ראו למשל משפט התלתן ומשפט אוילר בגאומטריה.

מעגל חסום במצולע משוכלל

מעגל חסום ומעגל חוסם במשובע משוכלל

במצולע משוכלל, מרכז המעגל החסום מתלכד עם מרכז המעגל החוסם.

נסמן:

n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל

t - אורך הצלע במצולע המשוכלל

R - רדיוס המעגל החוסם

r - רדיוס המעגל החסום.

מתקיים:

$\ t=2r\tan {\frac {\pi }{n}}=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$

$\ r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{n}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}$

$\ R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{n}}=r\sec {\frac {\pi }{n}}$

חתכי חרוט

במשולש אפשר לחסום אליפסות רבות. קיימת אליפסה המשיקה לצלעות בנקודות נתונות, אם ורק אם הנקודות מהוות שלשה של נקודות צ'בה.

משפט פונסלה, שהוא אחד המשפטים החשובים בגאומטריה פרויקטיבית, קובע שאם C,D הם חתכי חרוט ויש מצולע בן n צלעות החסום באחד מהם וחוסם את השני, אז יש אינסוף מצולעים כאלה, וכולם בעלי אותו מספר צלעות.

ראו גם

• מעגל חוסם
• קבוע קפלר באוקמפ

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מעגל חסום בוויקישיתוף

• מעגל חסום, באתר MathWorld (באנגלית)