Plano complexo

Artigo principal: Número complexo.

En matemáticas, o plano complexo é unha forma de visualizar o espazo dos números complexos. Pódese entender como un plano cartesiano modificado, no que a parte real está representada no eixo x e a parte imaxinaria no eixo y. O eixo x tamén se denomina eixo real e o eixo y eixo imaxinario.

Un número pódese representar visualmente mediante un par de números que forman un vector nun diagrama chamado diagrama de Argand.

O plano complexo tamén se denomina plano de Argand, xa que se usa nos diagramas de Argand. Estes levan o nome de Jean-Robert Argand (1768-1822). Os diagramas de Argand úsanse a miúdo para representar as posicións dos polos e ceros dunha función no plano complexo.

O concepto de plano complexo permite unha interpretación xeométrica dos números complexos. A adición de números complexos pódese relacionar coa suma de vectores e a multiplicación de dous números complexos pódese expresar máis facilmente en coordenadas polares: a magnitude ou módulo do produto é o produto dos dous valores absolutos, ou módulos, e o ángulo ou argumento do produto é a suma dos dous ángulos, ou argumentos. En particular, a multiplicación por un número complexo de módulo 1 actúa como unha rotación.

A teoría das funcións complexas é unha das áreas máis ricas das matemáticas, que atopa aplicación en moitas outras áreas das matemáticas e tamén na física, a electrónica e moitos outros campos.

Convencións de notación

Números complexos

Na análise complexa, os números complexos son normalmente representados polo símbolo z, que se pode separar nas súas partes reais (x) e imaxinarias (y): $$z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }$$No plano cartesiano o punto (x, y) tamén se pode representar en coordenadas polares como $$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.$$No plano cartesiano pódese supoñer que a arcotanxente toma valores de − π /2 a π /2 (en radiáns), e hai que ter coidado de definir a función arcotanxente máis completa para os puntos (x, y) cando x ≤ 0. No plano complexo estas coordenadas polares adoptan a forma $$z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv$$$$z=x+iy$$Aquí |z| é o valor absoluto ou módulo do número complexo z; θ é o argumento de z, adoita tomarse no intervalo 0 ≤ θ < 2π ; e a última igualdade (z = |z|e^iθ ) tómase da fórmula de Euler. Sen a restrición de rango de θ, o argumento de z é multivalor, porque a función exponencial complexa é periódica, con período 2πi. Así, se θ é un valor de arg(z), os demais valores veñen dados por arg(z) = θ + 2nπ, onde n é calquera número enteiro distinto de cero.

Case toda a análise complexa ten que ver con funcións complexas, é dicir, con funcións que mapean algún subconxunto do plano complexo noutro subconxunto (posíbelmente superposto, ou mesmo idéntico) do plano complexo. Aquí é costume falar do dominio de f (z) como situado no plano z, mentres se refire ao rango de f (z) como un conxunto de puntos no plano w. Escribimos con símbolos $$z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv$$e moitas veces pensas na función f como unha transformación do plano z (con coordenadas (x, y)) ao plano w (con coordenadas (u, v)).

O plano complexo denotase como $\mathbb {C}$.

Proxección estereográfica

Artigo principal: proxección estereográfica.

Pode ser útil pensar que o plano complexo ocupa a superficie dunha esfera. Dada unha esfera de raio unidade, coloque o seu centro na orixe do plano complexo, orientado de xeito que o ecuador da esfera coincida co círculo unitario do plano, e o polo norte estea "por enriba" do plano.

Podemos estabelecer unha correspondencia un a un entre os puntos da superficie da esfera menos o polo norte e os puntos do plano complexo do seguinte xeito. Dado un punto no plano, traze unha liña recta que o conecte co polo norte da esfera. Esta liña corta a superficie da esfera exactamente noutro punto. O punto z = 0 proxéctase sobre o polo sur da esfera. Desde o interior do círculo unitario dentro da esfera, toda a rexión (|z| <1) mapearase no hemisferio sur. O propio círculo unitario (|z| = 1) proxéctase sobre o ecuador e o exterior do círculo unitario (|z|> 1) mapearase ao hemisferio norte, menos o polo norte. Claramente, este procedemento é reversíbel: tendo en conta calquera punto da superficie da esfera que non sexa o polo norte, podemos trazar unha liña recta que une ese punto co polo norte e corta o plano exactamente nun punto.

Esfera de Riemann que mapea todos os puntos dunha esfera menos un a todos os puntos do plano complexo

Esfera de Riemann. Falamos dun único punto no infinito cando falamos de análise complexa. Hai dous puntos no infinito (positivo e negativo) na recta numérica real, mais só hai un punto no infinito (o polo norte) no plano complexo estendido.

Diagrama de Argand

O diagrama de Argand refírese a unha trama xeométrica de números complexos como puntos z = x + iy, como falado na introdución, úsanse a miúdo para representar as posicións dos ceros e polos dunha función no plano complexo.

Un número pode ser visualmente representado por un par de números formando un vector nun diagrama chamado diagrama de Argand.

Véxase tamén

Bibliografía

• Flanigan, Francis J. (1983). Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions. Dover. ISBN 0-486-61388-7. 
• Moretti, Gino (1964). Functions of a Complex Variable. Prentice-Hall. 
• Wall, H. S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company.  Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (Fourth ed.). Cambridge University Press. 

Outros artigos

• Número complexo.