Paridade (matemáticas)

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais ($\mathbb {N}$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros ($\mathbb {Z}$) Primos ($\mathbb {P}$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais ($\mathbb {Q}$) Fraccións Reais ($\mathbb {R}$) Positivos ($\mathbb {R} _{>0}$) / Negativos ($\mathbb {R} _{<0}$) Irracionais ($\mathbb {I}$) Alxébricos / Transcendentes ($\mathrm {Tr}$) Números complexos ($\mathbb {C}$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\sqrt {-1}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións ($\scriptstyle \mathbb {H}$) Octonións ($\scriptstyle \mathbb {O}$) Sedenións ($\scriptstyle \mathbb {S}$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {$\aleph _{0},\aleph _{1},\cdots$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

En matemáticas, un número par é un número enteiro que se pode escribir da forma: 2k (é dicir, divisible de maneira enteira entre 2), onde k é un enteiro (os números pares son os múltiplos do número 2). Os números enteiros que non son pares chámanse números impares e poden escribirse como 2k+1.

Os números pares son:

$\mathrm {pares} =\{\;...,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;8,\;...\;\}$

e os impares:

$\mathrm {impares} =\{\;...,\;-5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\;...\;\}$

A paridade dun número enteiro refírese ao seu atributo de ser par ou impar. Comparativamente, dous números son «da mesma paridade» se ao dividilos entre 2 o resto é o mesmo; por exemplo, "2" e "4", ou "3" e "7"; son «da mesma paridade». Polo contrario os números "23" e "44" son «de distinta paridade».

Recoñecemento

Regras de Cuisenaire: o 5 (amarelo) non pode ser dividido exactamente en 2 (vermello) por calquera dúas regras da mesma cor e lonxitude, mentres que 6 (verde escuro) pode dividirse en dúas de 3 (verde claro).

Se a base de numeración utilizada é un número par (por exemplo, base 10 ou base 8), pódese recoñecer un número par se o seu último díxito tamén é par. Por exemplo, o número en base 10 ${352107706}_{10}$ é par porque o seu último díxito (6) tamén é par. O mesmo sucede co número en base 6 ${2145301354}_{6}={23211718}_{10}$

Se a base do sistema de numeración é impar, o número será par se o número de díxitos impares é par. Por exemplo, en base 3 ${120}_{3}={15}_{10}$ é impar porque 1 é a súa única cifra impar, mentres que ${321}_{5}={86}_{10}$ é par porque 3 e 1 son os dous díxitos impares.

Propiedades

• Dous números enteiros consecutivos teñen paridade diferente.
• Dados tres enteiros consecutivos, dous serán da mesma paridade e un deles será necesariamente de paridade distinta dos outros dous.

Sexan $P$ o conxunto dos números pares e $I$ o conxunto dos números impares. Se tomamos o conxunto dos números enteiros téñense as seguintes propiedades:

• $P\subset \mathbb {Z}$
• $I\subset \mathbb {Z}$
• $P\cap I=\emptyset$
• $P\cup I=\mathbb {Z}$
• $P={\bar {I}}=\mathbb {Z} -I$, onde o macron denota o complementario do conxunto.
• $I={\bar {P}}=\mathbb {Z} -P$

Sexa $p$ un número par calquera e $i$ un número impar calquera. Cúmprese:

• A suma ou subtracción de dous números pares resulta un número par:

$p\pm p'=2n\pm 2n'=2(n\pm n')=p''\,\!$

• A suma ou subtracción de dous números impares resulta un número par:

$i\pm i'=(2n-1)\pm (2n'-1)=2n\pm 2n'+c=2(n\pm n'+c)=p\,\!$

• A suma ou subtracción dun número par cun número impar resulta un número impar:

$p\pm i=p\pm (p'-1)=(p\pm p')\pm 1=i'\,\!$

• A multiplicación dun número par por un número par resulta un número par:

$p\times p'=(2n)(2n')=2(2nn')=p''\,\!$

• A multiplicación dun número impar por un número impar resulta un número impar:

$i\times i'=(2n-1)(2n'-1)=2n2n'-2n-2n'+1=2(2nn')-2n-2n'+1=p-p'-p''+1=p'''+1=i''\,\!$

• A multiplicación dun número par por un número impar resulta un número par:

$p\times i=(2n)(2n'-1)=2n2n'-2n=2(2nn'-n)=p'\,\!$

Tipos especiais de números pares

• Os números perfectos son pares.
• Os factoriais dos números naturais diferentes de 1 e 0 son pares.
• Os números congruentes de Fibonacci son todos pares. Segundo a definición de Fibonacci que aparece no seu libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente é da forma m·n (m² - n²), con m e n enteiros positivos impares e m > n.

Véxase tamén

Outros artigos

• Paridade do cero