Número transfinito

George Cantor
	;
Biografía
País de nacionalidade	Ruso

Un número transfinito é a forma rigorosa empregada en matemáticas para contar o número de elementos de conxuntos infinitos.

Son a maneira formal e orixinal de definir os números infinitos.

Aleph cero

George Cantor (1845–1918) estudou sistematicamente o concepto de potencia dun conxunto, pero, a diferenza de Dedekind, concluíu que os conxuntos infinitos non son todos iguais (equipotentes).

Demostrou que os números irracionais son densos, é dicir, por moi próximos que estean dous números, sempre haberá outro número entre eles. Polo tanto, entre dous números calquera hai infinitos outros números.

Pensábase que todos os conxuntos de infinitos tiñan a mesma magnitude (cardinalidade), mais Cantor demostrou de forma concluínte que isto non era certo, xa que o número de números do conxunto de reais era maior que o dos racionais.

Cantor dixo que os números reais poden subdividirse de dúas maneiras:

Como racionais e irracionais
Como Alxébricos e Trascendentes

Cantor demostrou que os números alxébricos teñen a mesma "potencia" que os enteiros, polo que son os transcendentes os que dan a "densidade" que resulta nunha potencia maior.

Foron estas observacións de Cantor as que levaron ao desenvolvemento da Teoría dos Conxuntos.

Singer designou os números cardinais infinitos pola letra $\aleph$ - "alef", primeira letra do alfabeto hebreo. E utilizou os índices i para designalos: $\aleph _{i},i\in \mathbb {N}$

Ao conxunto dos naturais atribuíu o cardinal transfinito $\aleph _{0}$ ; $\aleph _{0}$ é un número infinito e polo tanto non hai forma de comparalo cun número natural.

Hai outros conxuntos co mesmo "infinito" que os naturais, ou o mesmo poder (cardinalidade) $\aleph _{0}$ , como o conxunto de números pares {0, 2, 4, 6, 8 ...}, o conxunto de números impares, etc.

O conxunto de pares ten "aparentemente" a metade dos números existentes no conxunto de números naturais, é dicir ${\aleph _{0} \over 2}$ . Mais como $\aleph _{0}$ é un "infinito" polo que calquera comparación cun número non di nada ${\aleph _{0} \over 2}=\aleph _{0}$

Os números racionais tamén teñen a mesma cardinalidade $\aleph _{0}$ , organizando os números racionais como unha táboa.

Podemos enumerar os racionais na forma ${\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{2}},...$ e eliminando os elementos que se poden simplificar, facemos entón unha equivalencia cos números naturais demostrando que os números racionais teñen unha cardinalidade $\aleph _{0}$ .

Aleph un

Polo tanto, hai varios conxuntos que aínda non se mencionaron que teñen o mesmo infinito, mais todos están feitos a partir da enumeración de números naturais. Entón podemos facer un conxunto P(N) no que cada elemento sexa un subconxunto dos naturais (o conxunto das partes). Se tentamos ordenar este conxunto segundo a suma dos elementos de cada subconxunto, non habería forma de expresar subconxuntos infinitos. Cantor conseguiu unha proba rigorosa de que este conxunto P(N) non se pode enumerar, o que o levou a propoñer o cardinal $\aleph _{1}$ para P(N).

O feito de que un conxunto teña o cardinal $\aleph _{1}$ significa que é un conxunto infinito de tal xeito que non se pode colocar en correspondencia un a un co conxunto de números naturais. A clase de todos os conxuntos equivalentes ao conxunto de partes dos números naturais define o número cardinal $\aleph _{1}$ .

Cantor, polo tanto, puido demostrar que o conxunto de partes dos números naturais ten máis elementos que o conxunto dos naturais, mais non foi capaz de demostrar que non existe un conxunto intermedio, é dicir, que non hai un conxunto X que teña máis elementos que o conxunto dos números naturais e menos elementos que P(N). Esta hipótese era coñecida en matemáticas como a hipótese do continuo, e só se resolveu correctamente varias décadas despois.

Potencia do continuo

Agora imos ao conxunto dos reais, o conxunto de reais contén o conxunto de enteiros, racionais e irracionais. Podemos demostrar que non é equivalente ao conxunto dos naturais.

Tomando un intervalo $(0,1)$ imos construír unha secuencia X:

$x_{1}=0,d_{11}d_{21}d_{31}...$ (é o primeiro número do intervalo)

$x_{2}=0,d_{12}d_{22}d_{32}...$ (é o segundo número do intervalo)

$x_{2}=0,d_{13}d_{23}d_{33}...$ (é o terceiro número do intervalo)

$x_{n}=0,d_{1n}d_{2n}d_{3n}...$ (é o número enésimo do intervalo)

Agora imos construír un número tal que:

$p_{1}=0,p_{1}p_{2}p_{3}{\mbox{ en que para }}k=1,2,3,...\,{\begin{cases}p_{k}=1,&{\mbox{se }}d_{kk}\neq 1.\\p_{k}=2,&{\mbox{ se }}d_{kk}=1.\end{cases}}$

Acabamos de construír un número que non pertence a X, polo que non hai un número natural equivalente para enumeralo, polo que non ten cardinalidade $\aleph _{0}$ . Pódese demostrar que o conxunto de números reais ten a mesma cardinalidade que o conxunto de partes dos números naturais, polo que, segundo Cantor (e a hipótese do continuo) a súa cardinalidade é $\aleph _{1}$ .

Facendo agora un conxunto de subconxuntos dos reais (conxunto de partes de R), pódese demostrar que este conxunto ten unha cardinalidade maior que a dos conxuntos reais. Segundo a hipótese do continuo xeneralizado (de novo proposta por Cantor, e só resolvida décadas despois), este conxunto ten a seguinte cardinalidade, é dicir, $\aleph _{2}$ . Facer isto de forma recursiva obtén os cardinais $\aleph _{i}$ .

Operacións con cardinais transfinitos

$\aleph _{n}+a=\aleph _{n}$

$\aleph _{n}+\aleph _{n}=\aleph _{n}$

$\aleph _{n}\times a=\aleph _{n}$

$\aleph _{n}^{a}=\aleph _{n}$

sendo $m>n$

$\aleph _{m}\pm \aleph _{n}=\aleph _{m}$

$\aleph _{m}\times \aleph _{n}=\aleph _{m}$

no entanto (segundo a hipótese do continuo xeneralizado):

$a^{\aleph _{n}}=\aleph _{n+1}$

$\aleph _{n}^{\aleph _{n}}=\aleph _{n+1}$

Notas

Véxase tamén

O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor", MacTutor History of Mathematics archive.
Eduardo Nogueira Ramos Júnior e Talyson de Brito da Conceição. "Conjunto Infinito" (PDF).
Ernesto von Rückert. "Cardinais Transfinitos" (PDF).

Outros artigos