Función inversa
En matemáticas, a función inversa dunha función f (ou simplemente inversa de f ) é unha función que desfai a operación de f . A inversa de f existe se e só se f é bixectiva, e se existe, denotase por
Para unha función , a súa inversa admite unha descrición explícita: envía cada elemento ao elemento único tal que f(x) = y.
Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por f(x) = 5x − 7. Para desfacer isto, temos a inversa de f , que sería a función definida por
Definicións
[editar | editar a fonte]Sexa f unha función cuxo dominio é o conxunto X e cuxo codominio é o conxunto Y Entón f é invertible se existe unha función g de Y a X tal que para todos os e para todos os .[1]
Se f é invertible, entón hai exactamente unha función g que satisfai esta propiedade.
A función f é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición para todos os implica que f é Inxectiva e a condición para todos os implica que f é sobrexectiva.
Inversas e composición
[editar | editar a fonte]Lembre que se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón
- , para cada e para cada .
Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:
- e
onde idX é a función de identidade no conxunto X; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.
Notación
[editar | editar a fonte]Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.
Un exemplo típico é sin−1(x) que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é x que denotamos tamén como arcsin(x). Isto sería diferente ao recíproco do seno
Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos
.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Funcións do cadrado e da raíz cadrada
[editar | editar a fonte]A función f: R → [0,∞) dada por f(x) = x2 non é inxectiva porque para tódolos . Polo tanto, f non é invertible se consideramos o dominio completo.
Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible. [2] A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por .
Funcións inversas estándar
[editar | editar a fonte]A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:
Función f(x) | Inversa f −1(y) | Notas |
---|---|---|
x + a | y − a | |
a − x | a − y | |
mx | y/m | m ≠ 0 |
1/x (isto é, x−1) | 1/y (isto é, y−1) | x, y ≠ 0 |
xp | (isto é, y1/p) | x, y ≥ 0 se p é par; enteiro p > 0 |
ax | loga y | y > 0 e a > 0 |
x e x | W (y) | x ≥ −1 e y ≥ −1/e |
funcións trigonométricas | funcións trigonométricas inversas | varias restricións (ver táboa embaixo) |
función hiperbólica | funcións hiperbólicas inversas | varias restricións |
función | Rango do usual valor principal |
---|---|
arcsin | −π/2 ≤ sin−1(x) ≤ π/2 |
arccos | 0 ≤ cos−1(x) ≤ π |
arctan | −π/2 < tan−1(x) < π/2 |
arccot | 0 < cot−1(x) < π |
arcsec | 0 ≤ sec−1(x) ≤ π |
arccsc | −π/2 ≤ csc−1(x) ≤ π/2 |
Propiedades
[editar | editar a fonte]Unicidade
[editar | editar a fonte]Se existe unha función inversa para unha función f dada, entón é única.[3]
Simetría
[editar | editar a fonte]Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón a súa inversa f −1 ten dominio Y e imaxe X, e a inversa de f −1 é a función orixinal f .
Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que f sexa invertible debe ser bixectiva.
A inversa dunha composición de funcións vén dada por [4]
Observe que a orde de g e f foron invertidas; para desfacer f seguido de g, primeiro debemos desfacer g, e despois desfacer f .
Por exemplo, sexa f(x) = 3x e sexa g(x) = x + 5. Entón a composición g ∘ f é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,
Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,
Esta é a composición (f −1 ∘ g −1)(x).
Autoinversas
[editar | editar a fonte]Se X é un conxunto, entón a función de identidade en X é a súa propia inversa:
Máis xeralmente, unha función f : X → X é igual á súa propia inversa, se e só se a composición f ∘ f é igual a idX . Tal función chámase involución.
Gráfica da inversa
[editar | editar a fonte]Se f é invertible, entón a gráfica da función
é a mesma que a gráfica da ecuación
Inversas e derivadas
[editar | editar a fonte]O teorema da función inversa afirma que unha función continua f é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función
é invertible, xa que a derivada f′(x) = 3x2 + 1 é sempre positiva.
Se a función f é derivable nun intervalo I e f′(x) ≠ 0 para cada x ∈ I, entón a inversa f −1 é derivable en f(I) .[5] Se y = f(x), a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,
Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como
Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.
O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable f : Rn → Rn é invertible nunha veciñanza dun punto p sempre que a matriz xacobiana de f en p sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de f −1 en f(p) é a matriz inversa do xacobiano de f en p.
Notas
[editar | editar a fonte]Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Función inversa |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Calculus / Early Transcendentals Single Variable. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-66414-3.
- Devlin, Keith J. (2004). Sets, Functions, and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics (3 ed.). Chapman & Hall / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
- Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
- Lay, Steven R. (2006). Analysis / With an Introduction to Proof (4 ed.). Pearson / Prentice Hall. ISBN 978-0-13-148101-5.
- Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6 ed.). Thompson Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-39900-9.
- Thomas Jr., George Brinton (1972). Calculus and Analytic Geometry Part 1: Functions of One Variable and Analytic Geometry (Alternate ed.). Addison-Wesley.
- Wolf, Robert S. (1998). Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox. W. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- "Inverse function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].