Plano complexo

representación xeométrica dos números complexos
Artigo principal: Número complexo.

En matemáticas, o plano complexo é unha forma de visualizar o espazo dos números complexos. Pódese entender como un plano cartesiano modificado, no que a parte real está representada no eixo x e a parte imaxinaria no eixo y. O eixo x tamén se denomina eixo real e o eixo y eixo imaxinario.

Un número pódese representar visualmente mediante un par de números que forman un vector nun diagrama chamado diagrama de Argand.

O plano complexo tamén se denomina plano de Argand, xa que se usa nos diagramas de Argand. Estes levan o nome de Jean-Robert Argand (1768-1822). Os diagramas de Argand úsanse a miúdo para representar as posicións dos polos e ceros dunha función no plano complexo.

O concepto de plano complexo permite unha interpretación xeométrica dos números complexos. A adición de números complexos pódese relacionar coa suma de vectores e a multiplicación de dous números complexos pódese expresar máis facilmente en coordenadas polares: a magnitude ou módulo do produto é o produto dos dous valores absolutos, ou módulos, e o ángulo ou argumento do produto é a suma dos dous ángulos, ou argumentos. En particular, a multiplicación por un número complexo de módulo 1 actúa como unha rotación.

A teoría das funcións complexas é unha das áreas máis ricas das matemáticas, que atopa aplicación en moitas outras áreas das matemáticas e tamén na física, a electrónica e moitos outros campos.

Convencións de notación

editar

Números complexos

editar

Na análise complexa, os números complexos son normalmente representados polo símbolo z, que se pode separar nas súas partes reais (x) e imaxinarias (y):  No plano cartesiano o punto (x, y) tamén se pode representar en coordenadas polares como  No plano cartesiano pódese supoñer que a arcotanxente toma valores de − π /2 a π /2 (en radiáns), e hai que ter coidado de definir a función arcotanxente máis completa para os puntos (x, y) cando x ≤ 0.[1] No plano complexo estas coordenadas polares adoptan a forma   Aquí |z| é o valor absoluto ou módulo do número complexo z; θ é o argumento de z, adoita tomarse no intervalo 0 ≤ θ < 2π ; e a última igualdade (z = |z|e ) tómase da fórmula de Euler. Sen a restrición de rango de θ, o argumento de z é multivalor, porque a función exponencial complexa é periódica, con período 2πi. Así, se θ é un valor de arg(z), os demais valores veñen dados por arg(z) = θ + 2, onde n é calquera número enteiro distinto de cero.[2]

Case toda a análise complexa ten que ver con funcións complexas, é dicir, con funcións que mapean algún subconxunto do plano complexo noutro subconxunto (posíbelmente superposto, ou mesmo idéntico) do plano complexo. Aquí é costume falar do dominio de f (z) como situado no plano z, mentres se refire ao rango de f (z) como un conxunto de puntos no plano w. Escribimos con símbolos  e moitas veces pensas na función f como unha transformación do plano z (con coordenadas (x, y)) ao plano w (con coordenadas (u, v)).

O plano complexo denotase como  .

Proxección estereográfica

editar
Artigo principal: proxección estereográfica.

Pode ser útil pensar que o plano complexo ocupa a superficie dunha esfera. Dada unha esfera de raio unidade, coloque o seu centro na orixe do plano complexo, orientado de xeito que o ecuador da esfera coincida co círculo unitario do plano, e o polo norte estea "por enriba" do plano.

Podemos estabelecer unha correspondencia un a un entre os puntos da superficie da esfera menos o polo norte e os puntos do plano complexo do seguinte xeito. Dado un punto no plano, traze unha liña recta que o conecte co polo norte da esfera. Esta liña corta a superficie da esfera exactamente noutro punto. O punto z = 0 proxéctase sobre o polo sur da esfera. Desde o interior do círculo unitario dentro da esfera, toda a rexión (|z| <1) mapearase no hemisferio sur. O propio círculo unitario (|z| = 1) proxéctase sobre o ecuador e o exterior do círculo unitario (|z|> 1) mapearase ao hemisferio norte, menos o polo norte. Claramente, este procedemento é reversíbel: tendo en conta calquera punto da superficie da esfera que non sexa o polo norte, podemos trazar unha liña recta que une ese punto co polo norte e corta o plano exactamente nun punto.

 
Esfera de Riemann que mapea todos os puntos dunha esfera menos un a todos os puntos do plano complexo

Esfera de Riemann. Falamos dun único punto no infinito cando falamos de análise complexa. Hai dous puntos no infinito (positivo e negativo) na recta numérica real, mais só hai un punto no infinito (o polo norte) no plano complexo estendido. [3]

Diagrama de Argand

editar

O diagrama de Argand refírese a unha trama xeométrica de números complexos como puntos z = x + iy, como falado na introdución, úsanse a miúdo para representar as posicións dos ceros e polos dunha función no plano complexo.


 
Un número pode ser visualmente representado por un par de números formando un vector nun diagrama chamado diagrama de Argand.
  1. Na descrición da función atan2 pódese atopar unha definición detallada do argumento complexo en termos da arctanxente completa.
  2. (Whittaker & Watson 1927), p. 10.
  3. (Flanigan 1983), p. 305.

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar