Nombre fortuné
En arithmétique, pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre fortuné — nommé d'après Reo Fortune — est le plus petit entier m > 1 tel que pn# + m est un nombre premier, où le nombre primoriel pn# est le produit des n premiers nombres premiers.
Par exemple :
- pour n = 3 donc pn# = 2×3×5, le plus petit m > 1 tel que 30 + m soit premier est m = 7 ;
- pour n = 5 ou 8, m = 23 ;
- pour n = 6, m = 17.
- pour n = 7, il faut d'abord calculer le produit des sept premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17), qui est 510 510. Ajouter 2 à ce produit donne un autre nombre pair, tandis qu'ajouter 3 donne un autre multiple de 3. On peut éliminer de même tous les entiers jusqu'à 18. L'ajout de 19, cependant, donne 510 529, qui est premier. Par conséquent, le 7e nombre fortuné est 19.
Le n-ième nombre fortuné est toujours strictement supérieur à pn. Cela est dû au fait que pn#, et ainsi pn# + m, est divisible par les facteurs premiers de m pour m = 2 à pn.
Les dix premiers nombres fortunés (suite A005235 de l'OEIS) sont 3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37 et 61.
Les dix plus petits nombres fortunés (par ordre croissant et en éliminant les répétitions : suite A046066 de l'OEIS) sont : 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47 et 59.
Reo Fortune a conjecturé que tout nombre fortuné est premier[1],[2]. En 2020, tous les nombres fortunés connus sont premiers[3].
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Fortunate number, sur Prime Pages.
- (en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, , 2e éd., 287 p. (ISBN 0-387-94289-0), p. 7-8
- Commentaire de Neil Sloane, sur la page de l'OEIS.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Article connexe
[modifier | modifier le code]Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Fortunate Prime », sur MathWorld
