Mesure intérieure
En mathématiques, une mesure intérieure est une fonction définie sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné, qui associe à chaque sous-ensemble une valeur positive, potentiellement infinie.
Cette valeur peut être vue intuitivement comme la valeur minimum de la mesure de ce sous-ensemble.
Définition
[modifier | modifier le code]Étant donné un ensemble X, une mesure interne est une fonction φ définie sur l'ensemble des parties de X à valeurs positives dans la droite réelle achevée.qui vérifie les conditions suivantes :
- L'ensemble vide est de mesure nulle :
- φ est superadditive : pour tous ensembles A et B disjoints :
- Pour toute suite A1, A2,... d'ensembles emboîtés (c'est-à-dire vérifiant pour tout j ) ) et si A1 est de mesure finie () alors,
- Si l'ensemble A est de mesure infinie, alors pour tout réel positif r, il existe un sous-ensemble B inclus dans A tel que
Mesure intérieure induite
[modifier | modifier le code]Soit A une tribu sur X et μ une mesure sur cette tribu. Alors μ induit sur X une mesure intérieure μ* définie pour toute partie T de X par:On peut alors voir la valeur de μ* sur T comme la taille minimale de T, puisque T est au moins aussi grand que la mesure de ses sous-ensembles mesurables (au sens de μ). Bien que μ* ne soit en général pas une mesure, elle en partage certaines propriétés
- est positive,
- Si alors
Complétion d'une mesure
[modifier | modifier le code]La mesure intérieure induite est souvent utilisée de concert avec la mesure extérieure pour étendre une mesure donnée à une tribu plus grande.
Soit μ une mesure finie définie sur une tribu A sur X et μ* et μ* respectivement les mesures extérieures et intérieures induites par μ, alors les parties T de X telles que μ*(T) = μ*(T) forment une tribu  contenant A[1].
On peut alors définir pour tout T dans  une nouvelle mesure μ' telle queCette nouvelle mesure est appelée complétion de la mesure μ.
Références
[modifier | modifier le code]- Paul R. Hamlos, Measure Theory, D. van Nostrand Company, (lire en ligne), p. 58