Intervalle d'espace-temps

Le carré de l’intervalle d'espace-temps entre deux événements dans l'espace-temps de la relativité restreinte ou générale est l'équivalent du carré de la distance géométrique entre deux points dans l'espace euclidien. Cette quantité est invariante par changement de référentiel de l'observateur.

Quand le carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements est positif ou nul (le terme carré n'est ici employé que de manière formelle), alors les deux événements peuvent être connectés par un lien de cause à effet, et l'intervalle d'espace-temps (défini en prenant la racine carrée) permet de définir le temps propre entre ces deux événements.

Quand le carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements est strictement négatif, alors aucun des deux ne peut être la cause de l'autre, et l'intervalle d'espace temps n'est pas défini (ou au mieux comme étant un nombre imaginaire), mais en prenant la racine carrée de l'opposé du carré on obtient la distance propre entre ces événements.

Le carré de l'intervalle d'espace-temps sert de définition de la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski en relativité restreinte, ainsi que de la pseudo-métrique infinitésimale dans l'espace courbe de la relativité générale.

Expression en relativité restreinte

Dans l'espace euclidien en trois dimensions, le carré de la distance $\Delta l$ entre deux points A et B de coordonnées (x_A, y_A, z_A) et (x_B, y_B, z_B) par rapport à un repère cartésien orthonormé s'exprime sous la forme :

$\,(\Delta l)^{2}=(x_{\text{B}}-x_{\text{A}})^{2}+(y_{\text{B}}-y_{\text{A}})^{2}+(z_{\text{B}}-z_{\text{A}})^{2}\,,$

ce que l'on écrit couramment de façon plus condensée

$\Delta l^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}\,.$

Il est évident qu'en physique classique, cette grandeur est invariante par changement de référentiel. Mais ce n'est plus le cas en physique relativiste.

Dans la géométrie de l'espace-temps de la relativité restreinte, on écrit le « carré de l'intervalle d'espace-temps », noté $\Delta s^{2}$, entre deux événements A et B de coordonnées (t_A, x_A, y_A, z_A) et (t_B, x_B, y_B, z_B) dans un espace-temps à quatre dimensions (une de temps, soit t, et trois d'espace) sous la forme

$(\Delta s)^{2}=\,c^{2}(t_{\text{B}}-t_{\text{A}})^{2}-(x_{\text{B}}-x_{\text{A}})^{2}-(y_{\text{B}}-y_{\text{A}})^{2}-(z_{\text{B}}-z_{\text{A}})^{2}$

ou

$\Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}\,$

expression dans laquelle le facteur c² (vitesse de la lumière au carré) s'impose par le biais des transformations de Lorentz ou des principes de la relativité restreinte, suivant la méthode utilisée pour justifier son invariance par changement de référentiel inertiel.

La pseudo-métrique, notée $\ \Delta s$, est définie par $\ \Delta s^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}$ ou $\ \Delta s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}$ suivant la convention de signes $(-;+;+;+)$ ou $\ (+;-;-;-)$ choisie.

Invariance

L'invariance, par changement de référentiel inertiel, du carré de l'intervalle d'espace-temps est une propriété centrale de la relativité restreinte. Selon la présentation choisie, cette invariance peut être posée comme axiome fondateur de la théorie, ou déduite directement des axiomes originaux de la relativité, à savoir le principe de relativité et l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel inertiel, ou encore déduite des transformations de Lorentz qui transforment les coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel (ces transformations pouvant être déduites des deux principes originaux de la relativité restreinte). Depuis Hermann Minkowski, certaines présentations de la théorie choisissent une des deux premières options, en adoptant un point de vue purement géométrique en dimension quatre (trois d'espace et une de temps). La troisième option correspond mieux au développement historique de la théorie.

Une démonstration de l'invariance à partir des deux axiomes de la relativité restreinte

Les deux axiomes sont : le principe de relativité et l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel (inertiel, comme tous les référentiels considérés ici).

• Si, dans un certain référentiel, deux événements sont séparés de la distance spatiale $\ \Delta l$ et de la distance temporelle $\ \Delta t$ de telle sorte que $|\Delta l/\Delta t|\,=c$ la vitesse de la lumière, alors on a : $\ \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}=0$.

Si les deux mêmes événements sont vus depuis un autre référentiel, alors les distances spatiale et temporelle y sont $\ \Delta l'$ et $\ \Delta t'$, avec $|\Delta l'/\Delta t'|\,=c$ la vitesse de la lumière, qui a la même valeur dans cet autre référentiel, d'après le deuxième axiome. On en déduit que dans ce référentiel aussi, on a $\ \Delta s'^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta l'^{2}=0$

Ainsi, si $\ \Delta s^{2}=0$ dans un référentiel, il en est de même dans tout autre.

• Dans chaque référentiel et pour tout couple d'événements suffisamment proches, $\ \Delta s^{2}$ et $\ \Delta s'^{2}$ sont des infiniment petits du même ordre de grandeur car les changements de référentiels sont des fonctions affines à coefficients constants, donc les relations entre les $\ \Delta l\;,\Delta t$, d'un référentiel à l'autre sont linéaires ou affines. $\ \Delta s^{2}$ et $\ \Delta s'^{2}$ s'annulent simultanément, donc il existe un nombre $a$ tel que $\ \Delta s^{2}=a.\Delta s'^{2}$. Ce nombre ne peut pas dépendre de la position relative des deux référentiels car l'espace-temps est supposé homogène, donc il ne dépend que de la vitesse relative des deux référentiels. Mais il ne peut pas dépendre de la direction de cette vitesse car l'espace-temps est supposé isotrope. Ainsi il ne dépend que de la valeur absolue de la vitesse relative, ou encore de son carré : $\ a=a(v^{2})$.
• Considérant trois référentiels, le principe de relativité imposant que les lois y soient les mêmes, on a : $\ \Delta s^{2}=a(v^{2}).\Delta s'^{2}\,,$ $\ \Delta s'^{2}=a(v'^{2}).\Delta s''^{2}$ et $\ \Delta s^{2}=a(v''^{2}).\Delta s''^{2}$. Ainsi $\ a(v''^{2})=a(v^{2}).a(v'^{2})$. Or $\ v''^{2}$ dépend de l'angle entre $\ v$ et $\ v'$, angle n'intervenant pas dans $a(v^{2}).a(v'^{2})$. Donc, $\ a(v^{2})=a$ est un nombre constant, ne dépendant pas de la vitesse relative des référentiels.
• Comme $\ \Delta s^{2}=1.\Delta s^{2}$, on a $\ a=1$.

Conclusion : $\ \Delta s^{2}=\Delta s'^{2}$. Le carré de l'intervalle d'espace-temps est invariant par changement de référentiel.

 

Une démonstration de l'invariance à partir des transformations de Lorentz écrites sous la forme classique

On ramene le problème à deux dimensions pour plus de lisibilité, donc on néglige les détails sur les rotations spatiales.

En considérant deux référentiels $\mathbb {R}$ et $\mathbb {R} '$ en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse $\ v$, les transformations de Lorentz utilisées sont :

$\,~\left\{{\begin{matrix}c\Delta t'=\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\\\Delta x'=\gamma \left(\Delta x-\beta .c\Delta t\right)\\\Delta y'=\Delta y\\\Delta z'=\Delta z\end{matrix}}\right.\,~$ avec $\beta ={\frac {v}{c}}$ et $\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$,

Par quelques calculs algébriques simples, on montre que l'on a bien $c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}-\Delta y'^{2}-\Delta z'^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\,,$

 

Une démonstration de l'invariance par les transformations de Lorentz exprimées à l'aide des fonctions hyperboliques

Le calcul suivant illustre le rapport étroit entre les formules de transformations de Lorentz et l'invariance du carré de l'intervalle spatio-temporel et la possibilité de passer d'un formalisme à l'autre.

En géométrie euclidienne, une rotation d'angle θ du système de coordonnées autour de l'axe Oz laisse invariante la distance entre deux points. Les formules de changement d'axes de coordonnées correspondant à cette rotation et donnant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes s'écrivent :

${\begin{cases}x'=x\cos \,\theta +y\sin \,\theta \\y'=-x\sin \,\theta +y\cos \,\theta \\z'=z\,.\end{cases}}$

Par conséquent les différences de coordonnées entre les deux points A et B deviennent

${\begin{cases}\Delta x'=\Delta x\cos \,\theta +\Delta y\sin \,\theta \\\Delta y'=-\Delta x\sin \,\theta +\Delta y\cos \,\theta \\\Delta z'=\Delta z\,.\end{cases}}$

On en déduit

$(\Delta x')^{2}+(\Delta y')^{2}+(\Delta z')^{2}=(\Delta x\cos \,\theta +\Delta y\sin \,\theta )^{2}+(-\Delta x\sin \,\theta +\Delta y\cos \,\theta )^{2}+(\Delta z)^{2}\equiv (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\,,$

formule montrant bien l'invariance de cette somme des carrés.

En relativité restreinte les transformations de Lorentz permettent de passer du système « fixe » à un système animé d'une vitesse v le long de l'axe Ox. En utilisant le paramètre angulaire θ défini par

$\beta =v/c\,,\ \beta \,=\,\tanh \theta$   soit   $\theta \,=\,\mathrm {atanh} \beta$

les formules de Lorentz s'écrivent comme des formules de rotation d'axes à ceci près que les fonctions trigonométriques sont remplacées par les fonctions hyperboliques. On a les expressions :

${\begin{cases}ct'=\ ct\cosh \,\theta -x\sinh \,\theta \\x'=-ct\sinh \,\theta +x\cosh \,\theta \\y'=y\\z'=z\end{cases}}$

Par conséquent si on considère deux événements, les différences de coordonnées se transformeront comme

${\begin{cases}c\Delta t'=\ c\Delta t\cosh \,\theta -\Delta x\sinh \,\theta \\\Delta x'=-c\Delta t\sinh \,\theta +\Delta x\cosh \,\theta \\\Delta y'=\Delta y\\\Delta z'=\Delta z\end{cases}}$

On en déduit :

$\,(c.\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=(c\Delta t\cosh \,\theta -\Delta x\sinh \,\theta )^{2}-(-c\Delta t\sinh \,\theta +\Delta x\cosh \,\theta )^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}\,.$

Comme

$\,(\cosh \theta )^{2}-(\sinh \theta )^{2}=1$

on aboutit bien à la formule d'invariance annoncée

$\,(c.\Delta t')^{2}-(\Delta l')^{2}=\,(c.\Delta t)^{2}-(\Delta l)^{2}\,.$

 

Relation entre événements

Le carré de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements peut être de trois types différents :

• genre temps,
• genre espace,
• genre lumière.

Le genre d'un carré d'intervalle d'espace-temps dépend de son signe, et comme il est invariant par changement de référentiel inertiel, le genre d'un intervalle d'espace-temps sera le même pour tout observateur. Ainsi, on pourra remarquer que si deux événements sont séparés par un carré d'intervalle d'espace-temps de genre temps ou lumière, ils peuvent être liés par un lien causal direct, par contre s'ils sont séparés par un de genre espace, ils ne le peuvent pas, et ceci quel que soit l'observateur et son référentiel inertiel.

Genre temps

Si l'intervalle temporel cΔt l'emporte sur la distance spatiale Δl l'intervalle est dit du genre temps et l'intervalle d'espace-temps est positif :

$\,\Delta s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}>0$

Ce cas correspond à la situation où $|\Delta l/\Delta t|<c$ , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, un mobile allant à la vitesse constante $|\Delta l/\Delta t|$ dans la bonne direction peut être à l'endroit exact et au même instant que le premier évènement, puis, après son déplacement, à ceux du deuxième. Par conséquent dans le repère (inertiel) de ce mobile les deux événements se situent au même endroit, mais pas au même moment. Dans ce référentiel particulier, et d'après l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps, l'écart de temps $\Delta \tau$ séparant les deux événements est appelé le temps propre les séparant, et est donné par la formule :

$\Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}~=~c^{2}\Delta \tau ^{2}-\,0\,,$

laquelle montre que le temps propre $\Delta \tau$ est donné par $\Delta \tau ={\sqrt {\Delta s^{2}}}/c$.

Dans ce cas d'un intervalle de genre temps, les deux événements peuvent être liés par un lien causal : par le biais d'une particule allant assez vite d'un événement vers l'autre, ou d'une influence véhiculée par de la lumière allant de l'un vers l'autre et dont l'effet déclencherait par la suite le deuxième événement.

Dans la plupart des cas, sur Terre, les situations rencontrées sont de genre temps, puisque les dimensions de notre planète sont réduites (de l'ordre de 10.000km) et que par ailleurs les événements considérés par l'Homme impliquent généralement des durées de l'ordre de la seconde au moins. Cela n'implique pas que tous les évènements ont un lien causal entre eux, mais qu'ils sont physiquement susceptibles d'en avoir.

Genre espace

Si l'intervalle spatial Δl l'emporte sur l'intervalle temporel cΔt, l'intervalle est dit du genre espace et le carré de l'intervalle d'espace-temps est négatif :

$\,\Delta s^{2}~=~c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}<0\,.$

Ce cas correspond à la situation où $|\Delta l/\Delta t|>c$ , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, aucun mobile allant à une vitesse inférieure à celle de la lumière ni aucun signal lumineux ne peut être à l'endroit exact et au même instant que le premier évènement, puis, après son déplacement ou sa propagation, à ceux du deuxième. Il ne peut donc pas y avoir de lien causal entre les deux évènements. On peut montrer qu'alors il existe un référentiel inertiel dans lequel les événements sont simultanés : dans ce référentiel, l'écart de temps entre les deux événements est nul, d'où

$\Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}~=~\,0-\Delta l^{2}\,$

Ainsi, dans ce référentiel inertiel particulier, l'écart de temps est nul entre les évènements et leur distance spatiale, appelée distance propre, est $\Delta l={\sqrt {-\Delta s^{2}}}.$

Cette situation correspond à l'expérience de pensée du paradoxe du train.

Genre lumière

Si le carré de l'intervalle spatio-temporel est nul, cela veut dire que la lumière parcourt exactement la distance géométrique entre les deux événements pendant le laps de temps séparant ces deux événements.

$\,\Delta s^{2}~=~c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}=0\,.$

Ce cas correspond à la situation où $|\Delta l/\Delta t|=c$ , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, seuls les particules de masse nulle, donc allant à la vitesse de la lumière, peuvent joindre les deux évènements. La vitesse de la lumière étant la même dans tous les référentiels inertiels, il en est de même quand ces événements sont vus depuis tout autre référentiel inertiel. Cela laisse encore la possibilité d'un lien causal entre les deux événements, un lien se faisant à la vitesse de la lumière.

Exemple : si l'événement A consiste en l'envoi d'un signal laser depuis la Terre vers la Lune et l'événement B consiste en la réception de ce signal sur la Lune, l'intervalle spatio-temporel entre A et B sera nul puisque la distance Δl entre Terre et Lune sera justement égale à la distance cΔt parcourue par la lumière pendant le temps Δt. Dans ce dernier cas on peut dire que l'intervalle est du genre lumière.

Ordre temporel et genre

Diagramme de Minkowski représentant l'inversion temporelle apparente des évènements A et B pour l'observateur O et O'. Pour O, B a lieu avant A, tandis que pour O', en mouvement rapide par rapport à O, c'est A qui se produit avant B.

Par principe, les changements de référentiels physiquement réalistes respectent l'orientation de l'axe du temps : on suppose donc que vues d'un référentiel ou d'un autre les aiguilles d'une montre ne changent pas leur sens de rotation, que si une pomme chute de sa branche vu de l'un, alors elle n'y remonte pas vu depuis un autre. S'ils sont séparés par un intervalle de genre temps, tous les observateurs constatent le même ordre temporel entre deux événements (mais avec des écarts temporels différents).

Par contre, dans certains cas l'ordre temporel observé entre deux évènements peut changer d'un référentiel à l'autre : si les deux évènements sont séparés par un intervalle de genre espace, leur ordre temporel observé peut changer d'un référentiel à l'autre, et il y a aussi des référentiels pour lesquels les deux évènements sont simultanés.

Une démonstration de l'invariance de l'ordre temporel observé pour le genre temps

L'invariance par changement de référentiel de l'ordre temporel entre deux événements séparés par un intervalle de genre temps est en équivalence tautologique avec le principe de non-inversion de l'axe du temps par changement de référentiel.

Mais on peut vouloir se convaincre, par quelques considérations mathématiques, que cette invariance est bien une conséquence de ce principe :

Les seuls changements de référentiel que la physique permette respectent l'orientation de l'axe du temps et l'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la main droite), ce sont aussi les changements continus à partir du référentiel initial, et sont appelés transformations propres et orthochrones.

Considérons un couple d'événements du genre temps tel que l'intervalle Δt de A vers F soit positif (t(F) est plus grand que t(A), ou F est postérieur à A). Pour que cet intervalle change de signe (F devenant antérieur à A) il faudrait qu'il traverse la valeur nulle, ce qui est impossible. En effet le carré Δt² de l'intervalle temporel est égal à la somme de deux carrés selon la formule :
$c^{2}\,\Delta t^{2}\,=\,\Delta s^{2}+\Delta l^{2}$,

où le premier terme du second membre est strictement positif (et invariant par changement de référentiel) et le second terme, carré d'une distance euclidienne, est positif ou nul. Par conséquent ce carré Δt² ne peut pas s'annuler. Il en est de même de l'intervalle temporel Δt lui-même, lequel, ne pouvant pas s'annuler, ne peut pas changer continûment de signe. Ainsi, si A précède F pour un certain observateur, il en sera toujours de même pour tout observateur physiquement admissible. Si A était antérieur à F, F ne peut pas agir sur A en devenant lui-même antérieur à A.

 

Une démonstration que l'ordre temporel observé peut être inversé pour le genre espace

Étant donné deux événements A et B tels que dans le référentiel $(R)$ de l'observateur $\ \Delta t=t_{B}-t_{A}>0$, et en supposant $\ \Delta x=x_{B}-x_{A}>0$ avec un bon choix de l'axe $\ x$.

Considérons un référentiel $(R')$ en translation par rapport au repère (R), à la vitesse ${\vec {v}}=u\,{\vec {e}}_{x}$ le long de l'axe des x, avec $0<u<c$.

D'après les transformations de Lorentz, la durée entre les deux événements, vue du référentiel $(R')$ vaut :
$\Delta t'=\gamma (\Delta t-{\frac {u.\Delta x}{c^{2}}})\,,$ avec : $\,\gamma =\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}>0$.
$\Delta t$ étant positif, que dire du cas $\Delta t'$ négatif ?
$\Delta t'<0\Longleftrightarrow \Delta t\,<\,{\frac {u}{c^{2}}}\Delta x\Longleftrightarrow {\frac {c^{2}}{u}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\;.$
Or : $0<u<c\Longleftrightarrow c<{\frac {c^{2}}{u}}$.
D'où : $\Delta t'<0\Longleftrightarrow \Delta t\,<\,{\frac {u}{c^{2}}}\Delta x\Longleftrightarrow {\frac {c^{2}}{u}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Rightarrow c<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Longleftrightarrow c^{2}.\Delta t^{2}-\Delta x^{2}<0$, d'où les deux événements sont séparés par un intervalle de genre espace.
Une flèche à sens unique $\Rightarrow$ bloque la réciproque, mais on a : $c<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Rightarrow$ il existe un nombre positif $\epsilon <1$ tel que $c<\epsilon .{\frac {\Delta x}{\Delta t}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$. En posant $\ u=c.\epsilon <c$, on obtient ${\frac {c^{2}}{u}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ et on peut toujours construire un référentiel $(R')$ en translation à la vitesse ${\vec {v}}=u\,{\vec {e}}_{x}$ pour lequel $\ \Delta t'<0$.

On remarque que de cette manière on peut aussi déterminer un référentiel pour lequel les deux événements sont simultanés.

 

Le cône de lumière

Le cône de lumière de l'événement A définit une partition de l'espace-temps permettant en particulier de distinguer le passé du futur de façon absolue.

Si on se fixe un événement O particulier comme objet d'étude, on peut partager l'espace-temps en régions regroupant les événements qui sont séparés de O par un intervalle d'espace-temps de genre temps, ceux qui sont séparés de O par un genre lumière et ceux qui sont séparés de O par un genre espace. Cette partition de l'espace-temps à quatre dimensions se fait sous la forme d'un cône à trois dimensions : l'intérieur correspond au premier cas, le bord au deuxième et l'extérieur au troisième. Ces régions correspondent aux différentes possibilités de lien causal avec l'événement O.

Bien entendu, chaque événement possède son propre cône de lumière.

La difficulté de représentation tient en ce que quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace, sont nécessaires pour caractériser un événement et qu'il est impossible de figurer un point à quatre coordonnées dans notre espace à trois dimensions. Pour le graphique, on réduit donc le nombre de dimensions spatiales à 2.

Métrique

L'espace-temps de la relativité restreinte est doté par le carré de l'intervalle d'espace-temps d'une sorte de distance qui est invariante par changement de référentiel. Vu de cette manière, l'intervalle d'espace-temps peut être considéré comme une métrique de l'espace, à partir de laquelle se démontrent nombre de propriétés mathématiques de l'espace et de la théorie relativiste.

Lorsque les deux événements A et B entre lesquels on calcule le carré de l'intervalle d'espace-temps sont très voisins, leurs coordonnées ne différent donc que par les quantités infinitésimales $\scriptstyle (dx^{\mu })\,=\,(c\,dt,dx,dy,dz)$. Cette considération est superflue en relativité restreinte dont l'espace est affine, mais est indispensable en relativité générale dont l'espace est une variété courbe où les $\scriptstyle (\Delta x^{\mu })\,$ ne peuvent être définis avec rigueur, mais où les éléments infinitésimaux $(dx^{\mu })$ sont définissables et appartiennent à l'espace tangent.

En relativité restreinte, le carré de l'intervalle infinitésimal d'espace-temps s'écrit alors : $\,ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$.

La métrique de la relativité générale est définissable à partir de celle de la relativité restreinte, en tenant compte du principe d'équivalence et du principe de relativité généralisé à tous les référentiels, et c'est un élément de base (d'un point de vue mathématique) pour la construction de cette théorie. Elle permet la définition de l'élément infinitésimal du carré de l'intervalle d'espace-temps dans cette théorie.

En relativité générale, la formule du carré de l'intervalle infinitésimal d'espace-temps est $ds^{2}=\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}g_{\mu \nu }\ {\rm {d}}x^{\mu }\ {\rm {d}}x^{\nu }$, où les coefficients de la métrique, $g_{\mu \nu }$, varient d'un point à l'autre de l'espace-temps, en fonction de la courbure de l'espace.

On écrit aussi, avec la convention d'Einstein pour les sommations : $ds^{2}=g_{\mu \nu }\ {\rm {d}}x^{\mu }\ {\rm {d}}x^{\nu }$.

Mais cette définition à partir d'éléments infinitésimaux et la courbure de l'espace-temps rendent délicate la justification de propriétés similaires à celles exposées dans les paragraphes ci-dessus, mis à part localement. Toutefois, à partir d'un événement O, on peut toujours faire la partition de l'espace-temps dans son ensemble en événements liés à O par une géodésique de genre temps, lumière ou espace (le genre correspondant au signe constant de $ds^{2}$ le long de la géodésique).^{[réf. nécessaire]}

Cas de l'invariance comme hypothèse

Si l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps, par changement de référentiel, est posée comme hypothèse initiale dans la théorie de la relativité, les déductions qui en sont faites sont alors mathématiquement cohérentes avec la théorie, mais certaines doivent être écartées pour des raisons physiques.

En relativité restreinte

Identifier l'espace physique à un espace mathématique à quatre dimensions doté d'une semblable distance (on dit aussi pseudo-norme) amène à identifier les repères de l'espace affine à quatre dimensions et les référentiels inertiels de la physique, et en cherchant tous les changements de repère ayant la propriété de laisser invariant l'intervalle d'espace-temps, on en trouve qui, tout en étant cohérents avec les mathématiques de la théorie relativiste, ne peuvent être retenus comme des changements de référentiel physiquement réalistes car ils ne respectent pas la convention d'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la main droite) ou celle de l'orientation de l'axe du temps (vers le futur).

Les transformations qui préservent les orientations de l'espace et du temps sont les transformations de Lorentz établies dès l'origine par Lorentz, et sont appelées, dans le cadre de cette problématique, transformations de Lorentz propres et orthochrones. Les autres transformations ne sont pas utilisées en physique relativiste mais le sont en physique quantique relativiste pour exploiter les symétries mathématiques des équations. Par exemple, la symétrie T et la parité sont interprétées comme de simples changements de convention des orientations des axes de coordonnées spatiales et temporelle. Ainsi, la symétrie P change-t-elle la convention du choix des référentiels par la main droite en convention du choix par la main gauche.

En relativité générale

En relativité générale, l'espace-temps étant essentiellement structuré par l'algèbre, il faut prendre garde à écarter les hypothèses ou résultats mathématiquement corrects mais physiquement irréalistes. Cela est vrai en particulier pour le carré de l'intervalle d'espace-temps $\textstyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\ {\rm {d}}x^{\mu }\ {\rm {d}}x^{\nu }$ qui est un élément fondateur de la théorie (du point de vue mathématique) du fait de son invariance par changement de référentiel et de son lien avec la gravitation (qui est une manifestation de la courbure). Déjà, les $g_{\mu \nu }$ forment une matrice qui doit avoir un déterminant négatif pour avoir un sens physique.

Ainsi, dans un référentiel réaliste pour un observateur, si la coordonnée $x_{0}$ correspond à la mesure du temps et les coordonnées $x_{1};x_{2};x_{3}$ correspondent à un référentiel spatial quelconque, les termes $g_{\mu \nu }$ doivent vérifier $g_{00}>0$, ainsi que $g_{kk}<0$ pour k=1, 2, 3 (bref : la signature doit rester inchangée par rapport à celle de la métrique de Minkowski).

Toutefois, pour déterminer des propriétés de l'espace-temps, les mathématiques de la relativité générale autorisent l'utilisation de n'importe quel système de référence dans cet espace à quatre dimensions, sans l'obligation de se préoccuper de réalisme et dans ce cas les coefficients $g_{\mu \nu }$ ne sont pas soumis à ces contraintes.

Voir aussi

• Tenseur métrique
• Temps propre
• Paradoxe du train
• Paradoxe des jumeaux