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Você pode ter uma conta-eletrónica, que equivale a ter uma conta no "banco virtual", porém com a garantia de manter os recursos dentro de um "banco forte" e ainda contar com a principal vantagem de estar isento de taxas, desde que as postáveis de restrinjam aos canais eletrônicos de atendimento. No Itaú está conta chama-se Iconta, no Bradesco Digiconta. Ainda existe o Banco Intermedium (banco médio, porém os depósitos de até 250 mil contam com seguro do FGC) este 100% digital, porém diferente do citado por você, não possui taxas, até mesmo para o cartão de crédito.

Lembrei do Banco 1, uma tentativa parecida com garantia do Unibanco, no inicio do seculo, todos atendimentos eram feitos por Courier (Mensageiro).
Mas não deu certo por que o Banco 1 acabou em 2004, na época a internet não era tão desenvolvida.

Nos dias atuais eu não arriscaria, mesmo um banco tradicional já apronta com os clientes, cobranças indevidas, pontos desaparecidos dos cartões..

Mas vejo umas vantagens; me livrar do pessimo atendimento do BB e das portas eletrônicas desreguladas, filas..