Yhdistetty funktio

Esimerkki kahden funktion kuvauksien yhdistämisestä.

Matematiikassa yhdistetyllä funktiolla tarkoitetaan kahta funktiota siten, että ensiksi muuttuja kuvataan ensimmäisellä funktiolla joksikin arvoksi ja sitten saatu tulos kuvataan toisella funktiolla uudeksi arvoksi. Täsmällisesti:

Olkoon $f:Y\to Z$ ja $g:X\to Y$ kuvauksia. Tällöin yhdistetty funktio $f\circ g$ (luetaan "f pallo g") tarkoittaa kuvausta, jolle $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ kaikilla $x\in X$. Yhdistetty funktio $f\circ g$ on kuvaus $f\circ g:X\to Z$.

Derivaatta

Jos f ja g ovat reaalilukujen reaaliarvoisia funktioita ja jos lisäksi $g$ on derivoituva pisteessä $x$ ja $f$ derivoituva pisteessä $g(x)$, voidaan yhdistetty funktio $f\circ g$ ketjusäännön avulla:

$D(f\circ g)(x)=f'(g(x))g'(x)$,

missä ' tarkoittaa derivaattaa $x$:n suhteen. Leibnizin merkintää käytettäessä sääntö saa muodon

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).