Puolirengas

Puolirengas on abstraktiin algebraan kuuluva algebrallinen rakenne, joka muistuttaa rengasta. Toisin kuin renkaassa, puolirenkaassa alkioille ei yhteenlaskun suhteen vaadita vastalukua.

Määritelmä

Puolirengas on joukko R, joka on varustettu kahdella laskutoimituksella, binäärioperaatiolla + ja ·, eli additiivisella ja multiplikatiivisella, siten, että:

1. (R, +) on kommutatiivinen monoidi neutraalialkiona eli nolla-alkiona 0:
   1. (a + b) + c = a + (b + c)
   2. 0 + a = a + 0 = a
   3. a + b = b + a
2. (R, ·) on monoidi with neutraalialkiona eli ykkösalkiona 1:
   1. (a·b)·c = a·(b·c)
   2. 1·a = a·1 = a
3. Multiplikatiivinen laskutoimitus osittelee additiivisen yli:
   1. a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
   2. (a + b)·c = (a·c) + (b·c)
4. 0·a = a·0 = 0

Neljättä aksioomaa ei esiinny renkaan määritelmässä, sillä se seuraa suoraan muista renkaan aksioomista. Puolirenkaan tapauksessa näin ei kuitenkaan ole, sillä additiiviselta laskutoimitukselta ei vaadita vastalukujen olemassaoloa.

Renkaan ja puolirenkaan erona on vain se, että additiivisella laskutoimituksella varustettu joukko R on vain kommutatiivinen monoidi eikä kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä.

Kommutatiivinen puolirengas on sellainen, jossa multiplikatiivinen laskutoimitus eli kertolasku on kommutatiivinen.

Esimerkkejä

• Jokainen rengas on myös puolirengas.
• Renkaan ideaalit muodostavat puolirenkaan, mutta eivät rengasta ideaalien yhteen- ja kertolaskun suhteen.
• Luonnolliset luvut N (sisältäen nollan) ovat puolirengas tavallisen yhteen- ja kertolaskun suhteen. Tämä puolirengas on kommutatiivinen.
• Samaan tapaan myös epänegatiiviset rationaaliluvut ja reaaliluvut ovat puolirengas tavallisen yhteen ja kertolaskun suhteen. Myös nämä puolirenkaat ovat kommutatiivisia.
• n-x-n neliömatriisit ilman negatiivisia alkioita muodostavat puolirenkaan matriisien yhteen- ja kertolaskun suhteen. Yleistettynä tämä pätee myös silloin, kun neliömatriisien alkiot ovat minkä tahansa puolirenkaan S alkioita. Kyseinen matriisien muodostama puolirengas ei ole yleensä kommuttiivinen vaikka S olisikin.

Katso myös

• Rengas

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0

Aiheesta muualla

• François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version) (Arkistoitu – Internet Archive), Wiley, 1992, ISBN 0 471 93609 X