Käyttäjä:Jähmefyysikko/hiekkalaatikko

---

Lähteet

Kirjallisuuslähteet

• Young, Hugh D.;Freedman, Roger A.: Sears and Zemansky's University Physics, Volume 1. 13th edition. Addison-Wesley, 2012. ISBN 978-1-256-32412-6. Teoksen verkkoversio.
• Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert J.: An introduction to mechanics. 3rd ed.. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521198219.
• Steven C. Frautschi, Richard P. Olenick, Tom M. Apostol, David L. Goodstein: The Mechanical Universe : Introduction to Mechanics and Heat. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-30429-0. Lainattavissa Internet Archivesta.
• Randall D. Knight: Physics for Scientists and Engineers : With Modern Physics. Boston: Pearson, 2013. ISBN 9781269884105. Lainattavissa Internet Archivesta.
• Feynman lectures, vol. 1

MKS

Metrijärjestelmä on metriin perustuva, alkujaan Ranskassa 1790-luvulla käyttöön otettu mittayksikköjärjestelmä. Metrijärjestelmän yksiköistä voidaan muodostaa kerrannais- ja alikerrannaisyksiköitä liittämällä niihin kymmenjärjestelmän mukaisia etuliitteitä.

Metrijärjestelmää on kehitetty jatkuvasti sen luomisesta alkaen. Alkuperäinen järjestelmä käsitti vain pituuden, pinta-alan ja tilavuuden sekä massan yksiköt, jotka oli kaikki sidottu metrin määritelmään. Myöhemmin järjestelmään on lisätty ajan, lämpötilan, sähkövirran, ainemäärän ja valovoiman yksiköt.

Metrijärjestelmän perusperiaatteisiin kuuluu, että kutakin suuretta vastaa vain yksi yksikkö, joka on joko perussuure, tai voidaan johtaa perussuureista yksikäsitteisellä tavalla. Perusyksiköiden määritelmät on alusta asti pyritty sitomaan yleisiin periaatteisiin.

Metrijärjestelmästä on useita variantteja, joista suurimmalla osalla on lähinnä historiallista merkitystä.

Metrijärjestelmän pohjalta muodostettiin 1960-luvulla SI-järjestelmä, jonka kehitystä säätelee kansainvälinen standardisaatio-organisaatio.

Periaatteet

• Universaalius
• Toteutettavuus
• Perusyksiköt
• Desimaalijärjestelmä
• Etuliitteet
• Koherenssi
• Rationalisoitu

Metrisiä järjestelmiä

• CGS-järjestelmä
  • Gaussin yksikköjärjestelmä
  • Sähkömagneettinen järjestelmä
  • Sähköstaattinen järjestelmä
• Käytännöllinen järjestelmä
• MKS-järjestelmä
• MTS-järjestelmä
• MKSA-järjestelmä
• Tekninen mittajärjestelmä

Unreliable script test cases

Kopioitu sivulta en:User:Headbomb/unreliable/testcases.

If you have the script installed, the following should be highlighted

URL domains	DOI prefixes	Plain lists	Numbered lists
Should be highlighted blacklist deprecated predatory generally unreliable contributors medrs warn Will be highlighted in main/draft space, but not here wiki	Should be highlighted doi:10.0001/predatory doi:10.0002/medrs doi:10.0003/warn doi:10.1101/12345 doi:10.1101/2020.10.0100 doi:10.1016/j.chaos.2019.109490 doi:10.1016/S0960-0779(09)00060-5 Should not be highlighted doi:10.1101/cshperspect.a011858 doi:10.1016/j.na.2013.06.007	Should be highlighted doi:10.0001/predatory doi:10.0002/medrs doi:10.0003/warn doi:10.1101/12345 doi:10.1101/2020.10.0100 doi:10.1016/j.chaos.2019.109490 doi:10.1016/S0960-0779(09)00060-5 Should not be highlighted doi:10.1101/cshperspect.a011858 doi:10.1016/j.na.2013.06.007	Should be highlighted doi:10.0001/predatory doi:10.0002/medrs doi:10.0003/warn doi:10.1101/12345 doi:10.1101/2020.10.0100 doi:10.1016/j.chaos.2019.109490 doi:10.1016/S0960-0779(09)00060-5 Should not be highlighted doi:10.1101/cshperspect.a011858 doi:10.1016/j.na.2013.06.007

Wiedemannin–Franzin laki

Wiedemannin–Franzin laki on termodynamiikan periaate, joka kuvaa suhdetta metallin lämmön- ja sähköjohtavuuksien välillä. Laki sai nimensä fyysikoiden Gustav Wiedemannin ja Rudolf Franzin mukaan, jotka esittivät sen ensimmäisen kerran 1853. Tämän lain mukaan metallin lämpöjohtavuus on suoraan verrannollinen sen sähköjohtavuuteen. Laki on merkittävä monissa fyysikaalisissa ja teknisissä sovelluksissa, erityisesti materiaalitieteessä ja elektroniikkateollisuudessa.

Perinnöllinen värisokeus

Puna-vihersokeus

Vasemmalla normaalin silmän tappisoluja (punaiselle, vihreälle ja siniselle herkkiä). Oikealla värisokean ihmisen silmän tappisoluja, joista puuttuvat punaiselle herkät solut.

Dikromaattisesti puna-vihersokealla on verkkokalvollaan vain kahdenlaisia tappeja. Puuttuva kolmas tappityyppi on tavallisesti korvautunut toisen tyyppisillä tapeilla (punaiset vihreillä tai toisinpäin), siten että tappien kokonaismäärä on sama kuin normaalinäköisellä. Dikromaattiseen värisokeuteen ei yleisesti liity näöntarkkuuden heikentymistä, ja osalla dikromaattisesti värisokeista näöntarkkuus on parempi kuin normaalinäköisellä.

Trikromaattisessa puna-vihersokeudessa ainakin toinen pitkäaaltoisista tapeista on poikkeava siten, että tappien herkkyysmaksimit ovat tavallista lähempänä toisiaan, mikä heikentää värien erottelua.

Molemmissa punasokeuden muodoissa henkilöllä on vaikeuksia erottaa sinistä ja vihreää toisistaan, kuten myös punaista ja vihreää. Dikromaattisessa punasokeudessa yli 494 nanometrin aallonpituudet saattavat näkyä keskenään samansävyisinä tai kokonaan samanvärisinä, jolloin punainen, oranssi, keltainen ja vihreä sekoittuvat keskenään. Pitkäaaltoisen punaisen valon punasokea näkee tavallista tummempana, minkä vuoksi hänen voi olla vaikea havaita punaista merkkivaloa tai punaista tekstiä mustalla taustalla.

Vihersokeudessa henkilö näkee vihreän värin normaalia tummempana, ja hän tarvitsee tavallista enemmän vihreää valoa nähdäkseen värit oikein, etenkin keltaisen värin.

Mitä värisokeat näkevät?

Dikromaattisesti värisokeiden sekoittamat värit esitettynä kromaattisuusdiagrammilla. Samalla viivalla olevat väriärsykkeet näkyvät värisokealle samana värinä.

Trikromaattisesti värisokealla on kolme tappityyppiä ja heidän sisäinen väriavaruutensa on kolmiulotteinen samoin kuin normaalinäköiselläkin.

Koska emme voi kokea toisen ihmisen aistimaailmaa, ei ole mahdollista tietää miten värisokea kokee näkemänsä värit. Väriensovituskokeet tuottavat objektiivista tietoa. Värisokeiden omasta kuvailusta ja heidän käyttämistään värisanoista voidaan myös tehdä päätelmiä. Myös ihmisiltä, joiden toinen silmä on värisokea, on saatu tietoa, johon tulee kuitenkin suhtautua varauksella, sillä aivojen muovautuvuuden vuoksi heidän värimaailmansa ei välttämättä vastaa molemmista silmistä värisokean värimaailmaa.

Siitä mitä värejä dikromaattisesti värisokeat näkevät ei ole yksimielisyyttä.

Värisokeat näkevät maailman väreissä, mutta he erottavat vähemmän värejä kuin normaalisti näkevät ihmiset. Tämä johtuu siitä, että värisokealla jotkin normaalilla väriaistilla toisistaan erottuvat värit sulautuvat yhdeksi uudeksi väriksi. Jos henkilö esimerkiksi näkee vihreän ja oranssin samanvärisenä, tämä koettu väri ei ole vihreä tai oranssi, vaan jokin muu.

Puna-vihersokeilla on paljon yksilöllistä vaihtelua sen suhteen, millaisia värieroja he näkevät. Lievästi värisokea voi esimerkiksi erottaa kaikki kirkkaat sävyt, mutta ei erota niitä murrettuina sävyinä. Siinä kun normaalisti näkevä ihminen pystyy erottamaan noin 150 eri spektrin värisävyä, joiden aallonpituuksien väli on 1–3 nanometriä, dikromaattisesti vihersokea erottaa noin 31 värisävyä ja dikromaattisesti punasokea vain noin 21. Vain aallonpituuden välillä 470–525 nm erottaa dikromaattisesti värisokea sävyt melko normaalisti. Myös spektrin eri päissä olevat sävyt erottuvat toisistaan hyvin.

Jotkut värisokeat ovat oppineet käyttämään värinimityksiä niistäkin väreistä, joita he eivät todellisuudessa erota, vaan tunnistavat arvaamalla.

Dikromaattisesti värisokeat näkevät valkoisina tai harmaina ne spektrin värit, jotka aktivoivat yhtä voimakkaasti heidän kahdentyyppisiä tappisolujaan, eli ovat suurin piirtein niiden herkkyyskohtien keskivälillä. Puna-vihersokeilla tällainen väritön kohta on sinivihreän kohdalla. Tämän neutraalin kohdan läheisyydessäkin värit ovat himmeitä.

Värisokea näkee metameerisinä eri väriärsykkeet kuin normaalinäköinen ihminen. Hänellä ovat siis erilaisia ne valon eri spektrijakaumat, jotka tuottavat saman värihavainnon aktivoidessaan tappisoluja samalla tavalla.

Joidenkin poikkeavasti trikromaattisten vihersokeiden ihmisten on havaittu olevan tavallista parempia himmeiden vihreiden värien erottelussa. Tätä metsässä elämisen kannalta hyödyllistä kykyä on esitetty puna-vihervärisokeuden säilymisen syyksi.

Päävärit

Additiivinen sekoitus (värivaloilla)

Subtraktiivinen sekoitus (painoväreillä)

Päävärit tai perusvärit ovat jonkin värijärjestelmän tai -teorian kantavärit, joilla on jokin ominaisuus, jota ei voi palauttaa muihin väreihin. Päävärit voidaan jakaa kahteen luokkaan, fysikaalisiin ja visuaalisiin pääväreihin sen mukaan tarkastellaanko värien sekoittamista vai värihavainnon laatua.

Fysikaaliset päävärit ovat värjääviä aineita tai värivaloja, joita sekoittamalla saadaan tuotettua mahdollisimman laaja skaala muita värejä. Väriaineiden sekoittamisessa eli subtraktiivisessa värinmuodostuksessa pääväreinä käytetään yleensä syaania, magentaa ja keltaista. Näitä päävärejä sekä mustaa käyttämällä tehdään muun muassa lehtien nelivärikuvat ja paperivalokuvat. Valovärejä sekoitettaessa eli additiivisessa värinmuodostuksessa pääväreinä ovat yleensä punainen, vihreä ja sininen. Näillä värivaloilla muodostetaan esimerkiksi television, tietokoneen tai kännykän näyttöruudun RGB-värit. Fysikaaliset päävärit ovat aina epätäydellisiä, sillä kaikkein värikylläisimpiä värejä ei voi tuottaa sekoituksena.

Visuaaliset tai psykologiset päävärit sen sijaan eivät liity värien sekoittamiseen, vaan suoremmin ihmisen väriaistin rakenteeseen. Havaintopsykologian mukaiset visuaaliset tai fysiologiset perusvärit ovat sininen, keltainen, punainen ja vihreä, sekä musta ja valkoinen. Opponenttiprosessiteorian mukaan sininen ja keltainen ovat keskenään toistensa vastavärejä, eikä missään värissä ei ole mahdollista havaita yhtä aikaa sekä sinisyyttä että keltaisuutta. Toisen vastaväriparin muodostavat punainen ja vihreä.

Painoteollisuudessa ja digitaalisessa kuvankäsittelyssä värien halllintaan käytetään standardisoituja kolorimetrisiä malleja. Tässä kontekstissa primäärivärillä tarkoitetaan tietyn väriavaruuden

Additiivinen värinmuodostus

Additiivisessa värinmuodostuksessa päävärit ovat valovärejä, joita ei saada aikaan muiden värivalojen sekoituksina. Kun näitä RGB-väreiksi kutsuttuja värejä eli punaista (engl. red), vihreää (engl. green) ja sinistä (engl. blue) sekoitetaan valoina keskenään, valoisuuden eli luminanssin määrä lisääntyy. Näin ei tapahdu väriaineita sekoitettaessa. Ihmisen värien näkemisen mekanismi perustuu juuri additiiviseen värinmuodostukseen. Aivomme tulkitsevat niin värivaloilla kuin millä tavalla tahansa syntyneitä näkökuvan väriärsykkeitä vain ja ainoastaan näkökohteesta saapuvan valoenergian aiheuttamien hermoärsykkeiden keskinäisinä RGB-suhteina. Tästä syystä mainittuja RGB-värejä tulisikin lähtökohtaisesti pitää varsinaisina pääväreinä. Additiivisessa värinmuodostuksessa värivalot vaalentavat toisiaan aina valkoiseksi asti

Subtraktiivinen värinmuodostus

Valoisuutta eli luminanssia vähentävässä, subtraktiivisessa värinmuodostuksessa päävärejä ovat syaani (engl. cyan), magenta ja keltainen (engl. yellow). Subtraktiivisessa värinmuodostuksessa peittäviä pigmenttejä sekoittamalla syntyy värisävyjä, jotka ovat side- ja liuotinaineista riippuen lähtöväriensä valoisuuksien keskiarvoja tai niitä tummempia. Sen sijaan läpikuultavia kalvovärejä käytettäessä väriyhdistelmät ovat yleensä aina lähtövärejään tummempia, koska valoisuudesta suodattuu pois enemmän kuin läpikuultamattomia pigmenttejä käytettäessä. Valoisuutta vähentävää ns. CMYK-värinmuodostusta käytetään muun muassa paperille tulostetuissa värivalokuvissa sekä kirjapainojen väripainatuksessa ja väritulostimien värikuvissa. Käytännön syistä neljäntenä värinä käytetään mustaa pigmenttiä, jota tarvitaan valoisuuserojen ja tummuuden voimistamiseen.

Havaintopsykologiset perusvärit

NCS-järjestelmän opponenttiväriparit valkoinen–musta, vihreä–punainen ja keltainen–sininen

Kolorimetriset väriavaruudet

Käsittele CIE-kromaattisuusdiagrammia jollain tavoin. Se että kolmella (todellisella) värillä ei voida kattaa koko diagrammia on kai hyvä havainnollistus subtraktiivisten ja additiivisten päävärien valitsemisen mielivaltaisuudesta. Näyttö- ja painotekniikasta voi sanoa jotain.

CIE 1931 väriavaruuden kromaattisuusdiagrammi. Hevosenkengänmuotoisen diagrammin ulkokehällä (lokus) on monokromaattisten sävyjen aallonpituudet nanometreinä.

Joitain RGB-väriavaruuksien toistoavaruuksia kuvattuna CIE 1931 -kromaattisuusdiagrammin avulla.

Muinaisia päävärejä

Punainen, keltainen ja sininen perusväreinä

Varsinkin maalaustaiteessa ja kuvataiteen opetuksessa on perinteisesti käytetty perusväreinä punaista, keltaista ja sinistä. Tämä käsitys, joka tunnetaan myös RYB-mallina (engl. Red, Yellow, Blue) on vanhempi kuin nykyiset tieteelliset väriteoriat.

RYB-mallin mukainen väriympyrä, punainen, keltainen ja sininen perusväreinä

Tämän mallin mukaisesti punainen, keltainen ja sininen sijoittuvat väriympyrään tasavälein; toisen kolmikon muodostavat välivärit violetti, oranssi ja vihreä.

Kuvataiteilijat ovat kauan käyttäneet useampaakin "perusväriä" paleteissaan. Esimerkiksi Leonardo da Vincin mukaan neljä perusväriä olivat punainen, sininen, keltainen ja vihreä. Näitä neljää pidetään yhä laajalti neljänä psykologisina perusväreinä, joskin toisinaan vain punaista, keltaista ja sinistä pidetään kolmena psykologisena perusvärinä., toisinaan taas joukkoon lisätään vielä musta ja valkoinen.

Kun teoreetikot 1700-luvulla oppivat tuntemaan Isaac Newtonin valolla ja prismoilla tekemät tieteelliset kokeet, alettiin punaista, keltaista ja sinistä yleisesti pitää kolmena perusvärinä. Niiden otaksuttiin olevan perustavat aistikvaliteetit, joita yhdistämällä voitiin saada kaikki mahdolliset väriaistimukset, ja myös vastaavia väriaineita sekoittamalla kaikki mahdolliset värit. Tästä teoriasta tuli vakiintunut opinkappale, vaikka kokemus osoitti, ettei näitä värejä yhdistämällä voida saada aikaan kaikkia mahdollisia värisävyjä, ja se esiintyy yleisenä käsityksenä laajalti edelleen, myös Suomen koulujen opetuksessa.

Punaisen, keltaisen ja sinisen pitäminen perusväreinä sekä tämän käsityksen soveltaminen käytäntöön on kuitenkin aiheuttanut runsaasti ongelmia. Esimerkiksi magentanpunaisen tai syaanin aikaansaaminen pelkästään näitä sekoittamalla ei hevin onnistu. Tämän vuoksi esimerkiksi vesiväripaletteihin on yleisesti sijoitettu vähintään kaksi erilaista keltaista, punaista ja sinistä vesivärinappia, että niitä sekoittamalla saisi syntymään edes riittävän kelvollisia välivärejä kuten oranssia, vihreää ja violettia. Yleisesti käytössä ovat hieman oranssiin vivahtava kromikeltainen ja hieman vihreään vivahtava kadmiumkeltainen, hieman oranssiin vivahtava sinooperinpunainen ja hieman violettiin vivahtava karmiininpunainen sekä hieman violettiin vivahtava ultramariininsininen ja hieman vihreään vivahtava preussinsininen.

Nämä ongelmat onkin nykyaikaisessa neliväripainossa samoin kuin värivalokuvauksessa ratkaistu käyttämällä pääväreinä syaania, keltaista ja magentaa. Myös useimmilla taidemaalareilla on paleteissaan värejä, joita ei voida saada aikaan punaista, keltaista ja sinistä sekoittamalla ja jotka eivät siten sovellu RYB-malliin.

Katso myös

• Vastaväri
• Värioppi

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Jähmefyysikko/hiekkalaatikko Wikimedia Commonsissa

• Eskelinen, Matti: Värien teoria ja värimallit Tietokonegrafiikan seminaari. 2002.

 

Kolmiväriteoria

Kolmiväriteoria eli Helmholtzin-Youngin teoria eli trikromaattinen väriteoria

1. Young ja Helmholtz
2. Grassmann
3. Maxwell
4. Kolorimetria ja CIE-standardit

Haasteita:

1. Opponenttiväriteoria

Opponenttiväriteoria

1. Ewald Hering
2. Erwin Schrödinger

Metameria

Metameriaksi kutsutaan ilmiötä, jossa kaksi spektriltään toisistaan poikkeavaa väriärsykettä havaitaan samanvärisinä. Metameria on kolmikanavaisen värinäön keskeinen ominaisuus. Silmään saapuvan valo vastaanotetaan kolmen erilaisen tappisolutyypin avulla, jolloin valon aallonpituusjakauma muuntuu kolmiväriseksi signaaliksi. Aallonpituusjakaumaltaan erilaisia ärsykkeitä, jotka kuitenkin synnyttävät saman kolmivärisignaalin, kutsutaan toistensa metameereiksi.

Yllä kuvattua perustavanlaatuista metamerian lajia voidaan myös kutsua valometameriaksi erotuksena muista metamerian lajeista. Valometametariaan pohjautuvia ilmiöitä ovat objektimetameria ja havainnoijametameria. Objektimetameriassa kaksi värinäytettä ovat samanvärisiä tietyssä valaistuksessa, mutta valaistuksen muuttuessa niiden värit poikkeavat toisistaan. Haitallista objektimetameriaa esiintyy erityisesti valaistuksessa, jonka värintoistoindeksi on alhainen. Havainnoijametameriassa kaksi aallonpituusjakaumaa ovat metameerejä yhdelle havainnoijalle, mutta eivät toiselle havainnoijalle, joka näkee ne erivärisinä. Havainnojametamerian syynä on havainnoijien näköjärjestelmien yksilölliset poikkeamat, erityisesti värisokeus. Myös pimeänäössä tapahtuva värien katoaminen lasketaan havainnojametameriaksi.

• MacEvoy, Bruce: The geometry of color perception handprint. 8.1.2015. Viitattu 24.2.2023.
• Peter van der Burgt: ”Metamerism”, Encyclopedia of Color Science and Technology, s. 1–5. Berlin, Heidelberg: Springer, 2019. ISBN 978-3-642-27851-8. Teoksen verkkoversio (viitattu 24.2.2023). en
• Abhijit Sarkar: ”CIE Special Metamerism Index: Change in Observer”, Encyclopedia of Color Science and Technology, s. 1–8. Berlin, Heidelberg: Springer, 2020. ISBN 978-3-642-27851-8. Teoksen verkkoversio (viitattu 24.2.2023). en
• W. S. Stiles: Color science : concepts and methods, quantitative data, and formulae. New York: John Wiley & Sons, 2000. 45461156. ISBN 0-471-39918-3.
• Deane Judd ja Günter Wyszecki: Color in business, science, and industry. New York : Wiley, 1975. ISBN 978-0-471-45212-6. Teoksen verkkoversio.

Grassmannin lait

Grassmannin (1853) esittämien värisekoituslakien mukaan

1. Silmä erottaa vain kolme erilaista eroavaisuutta, jotka voidaan kuvata esimerkiksi sävyn, kirkkauden ja värikylläisyyden avulla.
2. Jos kolmen ärsykkeen sekoituksessa yhtä ärsykettä muutetaan muiden pysyessä vakiona, muuttuu seoksen väri
3. Saman värisenä havaittavien ärsykkeiden sekoitukset ovat keskenään identtisiä.

Laeista seuraa että

1. Jos kahteen samanväriseen ärsykkeeseen lisätään kahta muuta samanväristä ärsykettä, saadaan kaksi ärsykettä jotka ovat keskenään samanvärisiä. ...
2. Kaksi samanväristä ärsykettä vähennetään toisistaan ...

Näiden korollaarien mukaan värien yhteensovittaminen on lineaarinen prosessi.

Kolorimetria

Kolorimetria eli värinmittaus

1. Tristimulus- eli kolmiärsykemalli

Värijärjestelmä

Värijärjestelmä tai värimalli

Planckin lain johtaminen

Planckin laki voidaan johtaa tarkastelemalla sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa olettamalla että kuution sisällä sähkömagneettinen kenttä on termodynaamisessa tasapainossa, siten että sen lämpötila on T.

Kuutio toimii siis mustana kappaleena. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.

Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa:

$\nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}$,

missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa:

$E(x,y,z)=sin(k_{x}x)sin(k_{y}y)sin(k_{z}z)$.

Huomattakoon, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.

Ratkaisua vastaa aaltovektori $\mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})$ jolle on voimassa $|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$, missä $\omega$ on aaltoliikkeen kulmataajuus.

Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L:

$k_{x}={\frac {l\pi }{L}}$, $k_{y}={\frac {m\pi }{L}}$, $k_{z}={\frac {n\pi }{L}}$,

missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa

$k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}(l^{2}+m^{2}+n^{2})$

ja lopuksi

${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}(l^{2}+m^{2}+n^{2})={\frac {\pi ^{2}p^{2}}{L^{2}}}$,

missä

$p^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2}$.

Jokainen kombinaatio (l, m, n) on itsenäinen systeemin moodi.

Suurelle järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille $\nu ->\nu +d\nu$ laskemalla pisteiden määrän k-avaruudessa intervallilla $k->k+dk$, joka vastaa intervallia $\nu ->\nu +d\nu$. Koska l, m, ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa p-säteisestä pallosta. p-säteisen ja dp-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on $4\pi p^{2}dp$, joten moodien määrä oktantissa on $dN(p)=N(p)dp={\frac {1}{8}}4\pi p^{2}dp$. Koska $k=\pi p/L$ ja $dk=\pi dp/L$, saamme $dN(p)={\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk$. Koska $L^{3}=V$, eli laatikon tilavuus ja $k=2\pi \nu /c$, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: $dN={\frac {V}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk={\frac {V}{2\pi ^{2}}}{\frac {8\pi ^{3}\nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu ={\frac {4\pi \nu ^{2}V}{c^{3}}}d\nu$

Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (l, m, n) vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten $dN={\frac {8\pi \nu ^{2}V}{c^{3}}}d\nu$ ja yksikkötilavuutta kohti $dN={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu$.

Valosähköinen ilmiö osoitti, että valo koostuu kvanteista, fotoneista, joiden on energia E suhteessa säteilyn taajuuteen $\nu$ kaavan $E=h\nu \,\!$ mukaisesti, missä h on Planckin vakio. Täten moodin energia ei voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan ainoastaan $h\nu$:n kerrannaisen. Moodin energia on tällöin $E(\nu )=nh\nu$, jossa yhdistämme n fotonia kyseessä olevaan moodiin.

Olkoot kaikki moodit termisessä tasapainossa lämpötilassa T. Voimme käyttää Boltzmannin jakaumaa määrittämään eri moodien olemassaoloa. Todennäköisyys p(n), että moodi n energialla E_n on energiallisesti olemassa on

$p(n)={\frac {e^{-E_{n}/kT}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-E_{n}/kT}}}$

Moodin, jonka taajuus on $\nu$ keskienergia on siten

${\bar {E_{\nu }}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}p(n)={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}e^{-E_{n}/kT}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-E_{n}/kT}}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu e^{-nh\nu /kT}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nh\nu /kT}}}$

Sijoitetaan $x=e^{-h\nu /kT}$, jolloin saamme

${\bar {E_{\nu }}}=h\nu {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}=h\nu x{\frac {\frac {1}{(1-x)^{2}}}{\frac {1}{1-x}}}$

Joten

${\bar {E_{\nu }}}=h\nu {\frac {x}{1-x}}={\frac {h\nu }{x^{-1}-1}}={\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}$

Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on

$du=u(\nu )d\nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\bar {E_{\nu }}}d\nu$

josta

$u(\nu )={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\bar {E_{\nu }}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}$.