Napoleonin pisteet

Napoleonin pisteet liittyvät geometriassa kolmioihin ja siellä erityisesti Napoleonin lauseena tunnettuun konstruktioon. Siinä kolmion sivuille piirretään tasasivuiset kolmiot siten, että niiden sivut yhtyvät alkuperäisen kolmion kanssa ja kolmioiden vapaat kärjet osoittavat ulospäin kolmiosta. Kun kolmion kärjet yhdistetään janoilla vastaisen sivun tasasivuisen kolmion keskipisteeseen eli painopisteeseen, leikkaavat janat ensimmäisessä Napoleonin pisteessä . Piirroksissa tätä merkillistä pistettä merkitään usein kirjaimella N, ja se on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella $\scriptstyle X_{17}$.

Napoleonin lauseessa kuvan tasasivuisten kolmioiden keskipisteet yhdistettiin kolmioksi, joka väitteen mukaan oli tasasivuinen kolmio. Edelleen, kun keskipisteet yhdistetään tasasivuisten kolmioiden sivujen vastaisiin kärkiin, leikkaavat janat toisensa Napoleonin pisteessä (K).

Ensimmäinen Napoleonin piste

Ensimmäisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\csc(\alpha +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,\csc(\beta +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\csc(\gamma +{\tfrac {1}{6}}\pi )=\sec(\alpha -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\sec(\beta -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\sec(\gamma -{\tfrac {1}{3}}\pi )$

ja barysentriset koordinaatit ovat

$a\csc(\alpha +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,b\csc(\beta +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:c\csc(\gamma +{\tfrac {1}{6}}\pi ).$

• 
  Kulma C on 150°, jolloin Napoleonin piste asettuu kärjen C päälle.
• 
  Kulma C on yli 150° ja Napoleonin piste jää kolmion ulkopuolelle. Se sijaitsee silloin yleensä tasasivuisten kolmioiden välissä.
• 
  Kun kulma C on yli 150° ja kolmion sivu CB on muita selvästi lyhyempi, jää Napoleonin piste tasasivuisen kolmion CBA sisälle.

Toinen Napoleonin piste

Toinen Napoleonin piste liittyy Napoleonin lauseen konstruktion muunnelmaan, jossa tasasivuisten kolmioiden vapaat kärjet on käännetty kolmiossa sisällepäin. Kun kolmion kärjet yhdistetään vastaisten sivujen tasasivuisten kolmioiden keskipisteisiin janalla, leikkaavat ne toisessa Napoleonin pisteessä. Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa sitä merkitään tunnuksella $\scriptstyle X_{18}$.

Toisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\csc(\alpha -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,\csc(\beta -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\csc(\gamma -{\tfrac {1}{6}}\pi )=\sec(\alpha +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\sec(\beta +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\sec(\gamma +{\tfrac {1}{3}}\pi )$

ja barysentriset koordinaatit ovat

$a\csc(\alpha -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,b\csc(\beta -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:c\csc(\gamma -{\tfrac {1}{6}}\pi )$

• 
  Toinen Napoleonin piste jää usein kolmion ulkopuolelle.
• 
  Kunkolmion suurin kulma pienenee, sijaitsee toinen Napoleonin piste kolmion sisäpuolella.
• 
  Kun kolmio on tasasivuinen kolmio, sijaitsee toinen Napoleonin piste painopisteessä, missä sijaitsevat myös tasasivuisten kolmioiden painopisteetkin.

Historia

Kuten myös epäillään Napoleonin lauseen kohdalla, on esitetty lukuisia väitteitä, ettei Napoleon Bonaparte olisi keksinyt Napoleonin pisteitä. Silti on jäänyt hämärän peittoon, kuka sen todellisuudessa olisi keksinyt.

Katso myös

• Napoleonin lauseen konstruktioon liittyvät myös Fermat'n pisteet, jotka ovat kolmion merkillisiä pisteitä.

Lähteet

• Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• PlanetMath: Triangle center
• MathPages: Napoleon's Theorem
• Ballew, Pat: Napoleon's Thm and the Napoleon Points (Arkistoitu – Internet Archive)
• Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 17, University of Kentucky