پرش به محتوا

تعامد (جبر خطی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
نماد تعامد

در ریاضیات، دو بردار را متعامد[۱] (به انگلیسی: Orthogonal) گویند هرگاه برهم قائم باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها برابر با صفر باشد یا با هم زاویهٔ راست (۹۰ درجه) ساخته باشند.

تعریف‌ها

[ویرایش]
AB و CD نسبت به هم متعامد هستند.
  • دو بردار و را در یک فضای ضرب داخلی برهم عمودند اگر ضرب داخلی صفر باشد. این رابطه تعامد را با نشان می‌دهند.
  • دو زیرفضای برداری و از یک فضای ضرب داخلی را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از به هر بردار از عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده می‌شود.
  • یک نگاشت خطی را نگاشت خطی متعامد می‌گوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار و در فضای ضرب داخلی داشته باشیم:

این یعنی زاویهٔ بین و را ثابت نگه می‌دارد و طول و برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود برهم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای یکّه راست‌هنجار (متعامد یکه) می‌نامیم.

توابع متعامد

[ویرایش]

مرسوم است که برای توابع و ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

که در آن تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در ساده ترین حالت w(x) = 1. در این صورت، اگر حاصل ضرب داخلی‌شان صفر باشد می‌گوییم دو تابع برهم عمودند:

با استفاده از ضرب داخلی، ما نُرم به صورت زیر تعریف میکنیم که عبارت است از ضرب داخلی بردار در خودش. نُرم، طول بردارها (تابع‌ها) را به دست می‌د:

اعضای یک دنباله از توابع {fi : i = 1, 2, 3, ...} متعامد هستند اگر

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

در رابطهٔ بالا

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) ۱ است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

مثال‌ها

[ویرایش]
  • بردارهای (۱, ۳, ۲)، (۳, −۱, ۰) و (۱/۳, ۱, −۵/۳) برهم عمودند، زیرا
مساحت قسمت مثبت و منفی در بازه با هم برابر و نتیجه انتگرال در این بازه برابر صفر می شود. تابع درجه اول، تابع درجه دوم، و ضرب دو تابع.

‎(۱)(۳) + (۳)(−۱) + (۲)(۰) = ۰

(۳)(۱/۳) + (−۱)(۱) + (۰)(−۵/۳) = ۰

(۱)(۱/۳) + (۳)(۱) − (۲)(۵/۳) = ۰

  • دو تابع 2t + ۳ و 5t2 + t − ۱۷/۹ را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ و با تابع وزن برهم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با 10t3 + 17t2 − 7/9 t − ۱۷/۳ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:

در آرایه‌شناسی

[ویرایش]

در آرایه‌شناسی یک طبقه‌بندی متعامد است که در آن در هیچ موردی، هیچ عضوی در بیش از یک گروه عضو نباشد، این به معنی منحصر به فرد بودن متقابل طبقه‌بندی‌ها و عضوها است.

جستارهای وابسته

[ویرایش]

منابع

[ویرایش]
  1. «بُردارهای متعامد» [ریاضی] هم‌ارزِ «orthogonal vectors»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ بُردارهای متعامد)

کتاب‌های رایگان برخط

[ویرایش]