تعامد (جبر خطی)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/58/Perpendicularite.png)
در ریاضیات، دو بردار را متعامد[۱] (به انگلیسی: Orthogonal) گویند هرگاه برهم قائم باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها برابر با صفر باشد یا با هم زاویهٔ راست (۹۰ درجه) ساخته باشند.
تعریفها
[ویرایش]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Perpendicular-coloured.svg/250px-Perpendicular-coloured.svg.png)
- در هندسه، دو بردار اقلیدسی عمود بر هم هستند اگر به بکدیگر قائم باشن؛ یعنی هم زاویه قائم بسازند.
- دو بردار و را در یک فضای ضرب داخلی برهم عمودند اگر ضرب داخلی صفر باشد. این رابطه تعامد را با نشان میدهند.
- دو زیرفضای برداری و از یک فضای ضرب داخلی را زیرفضاهای متعامد میگوییم اگر هر بردار از به هر بردار از عمود باشد. بزرگترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده میشود.
- یک نگاشت خطی را نگاشت خطی متعامد میگوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار و در فضای ضرب داخلی داشته باشیم:
این یعنی زاویهٔ بین و را ثابت نگه میدارد و طول و برابر است.
دستهای از بردارهای دوبهدو عمود برهم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای یکّه راستهنجار (متعامد یکه) مینامیم.
توابع متعامد
[ویرایش]مرسوم است که برای توابع و ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:
که در آن تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در ساده ترین حالت w(x) = 1. در این صورت، اگر حاصل ضرب داخلیشان صفر باشد میگوییم دو تابع برهم عمودند:
با استفاده از ضرب داخلی، ما نُرم به صورت زیر تعریف میکنیم که عبارت است از ضرب داخلی بردار در خودش. نُرم، طول بردارها (تابعها) را به دست مید:
اعضای یک دنباله از توابع {fi : i = 1, 2, 3, ...} متعامد هستند اگر
و راستهنجار (متعامد یکه) هستند اگر:
در رابطهٔ بالا
دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طولشان (برای توابع راستهنجار) ۱ است. چندجملهایهای متعامد را ببینید.
مثالها
[ویرایش]- بردارهای (۱, ۳, ۲)، (۳, −۱, ۰) و (۱/۳, ۱, −۵/۳) برهم عمودند، زیرا
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Function_%282t_%2B_3%29_%2845t2%2B9t%E2%88%9217%29.svg/220px-Function_%282t_%2B_3%29_%2845t2%2B9t%E2%88%9217%29.svg.png)
(۱)(۳) + (۳)(−۱) + (۲)(۰) = ۰
(۳)(۱/۳) + (−۱)(۱) + (۰)(−۵/۳) = ۰
(۱)(۱/۳) + (۳)(۱) − (۲)(۵/۳) = ۰
- دو تابع 2t + ۳ و 5t2 + t − ۱۷/۹ را در نظر بگیرید. این تابعها در بازهٔ و با تابع وزن برهم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با 10t3 + 17t2 − 7/9 t − ۱۷/۳ و ضرب داخلیشان میشود:
- چندجملهایهای متعامد بسیاری هستند که در ریاضیات، علوم و مهندسی کاربردهای بیشماری دارند. مانند:
- در مکانیک کوانتومی، دو ویژهحالت یک تابع موج و متعامد هستند اگر مربوط به ویژهمقدارهای متفاوتی باشند. به زبان نمادگذاری دیراک، مگر این که و متعلق به یک ویژهمقدار باشند.
در آرایهشناسی
[ویرایش]در آرایهشناسی یک طبقهبندی متعامد است که در آن در هیچ موردی، هیچ عضوی در بیش از یک گروه عضو نباشد، این به معنی منحصر به فرد بودن متقابل طبقهبندیها و عضوها است.
جستارهای وابسته
[ویرایش]منابع
[ویرایش]- ↑ «بُردارهای متعامد» [ریاضی] همارزِ «orthogonal vectors»؛ منبع: گروه واژهگزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژههای مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ بُردارهای متعامد)
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Orthogonality». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۲ مه ۲۰۱۵.
کتابهای رایگان برخط
[ویرایش]- محمد خرمی (تابستان ۲۰۰۳). «جبر خطی» (PDF). بایگانیشده از اصلی (PDF) در ۳۱ ژانویه ۲۰۱۲. دریافتشده در ۲۹ مارس ۲۰۰۹.
- Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
- Connell, Edwin H. , Elements of Abstract and Linear Algebra
- Hefferon, Jim, Linear Algebra excellent textbook with complete solutions manual