Matrize nilpotente

Aljebra linealean, $N\in M_{n.n}(K)$ matrizea nilpotentea dela esaten da, baldin eta $k\in \mathbb {N}$ existitzen bada, ezen $N^{k}=0\,$ baita.

Teorema

$A\,$ matrize nilpotentea bada orduan bere determinantea nulua da.

A k ordenako matrize nilpotentea bada, $A^{k}=0\,$

Orduan: $\det(A^{k})=0\,$

Hori dela eta: $\det(A)^{k}=0\,$ ,hortaz, $\det(A)=0\,$

M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}

matrizea nilpotentea da, M² = 0 baita. Orokorrean, edozein matrize triangeluar, bere diagonal nagusian zeroak dituena, nilpotentea da. Esaterako,

N={\begin{pmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}

matrizea nilpotentea da, zeren

N^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}};\ N^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}};\ N^{4}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}

baita.

Aurreko adibideek elementu nulu asko eduki arren, ohiko matrize nilpotenteekk ez dituzte. Esaterako,

{\begin{pmatrix}6&-9\\4&-6\end{pmatrix}}\qquad {\text{eta}}\qquad {\begin{pmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{pmatrix}}

matrizeak ber bi eginda nuluak dira, nahiz eta elementu nulurik ez izan.