Euklidesen algoritmo
Euklidesen algoritmoa, matematikan, bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena () kalkulatzeko erabiltzen den metodo bat da. Euklidesek deskribatu zuen lehenengo aldiz bere Elementuak obran (K.a. 300). Euklidesen algoritmo hedatuarekin, gainera, zatitzaile komunetako handiena emandako bi zenbakien konbinazio lineal moduan adierazteko koefizienteak kalkula daitezke. Algoritmoa hainbat arlotan aplikatzen da; aljebran, zenbaki-teorian eta informatikan, esaterako.
Euklidesen jatorrizko algoritmoa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Segmentos_conmensurables.svg/langeu-122px-Segmentos_conmensurables.svg.png)
Grekoek matematikari buruz zuten ikuspuntuaren arabera, zenbakiak magnitude geometrikoak dira. Geometria grekoak bi segmenturen neurgarritasuna aztertzen zuen: bi segmentu (zenbaki) AB eta CD neurgarriak dira hirugarren PQ segmentu bat existitzen bada zein aurreko bien barruan egokitzen den n zenbaki osoa adina aldiz, hau da, PQ-k AB eta CD segmentuak neurtzen baditu.
Edozein segmentu bikote ez da neurgarria; pitagorikoek aurkitu zuten moduan, karratuaren diagonala eta aldea ez dira neurgarriak. Bi segmentu neurgarriak direnean, haien arteko neurri komun handiena topatu nahi izaten da.
Euklidesek bere Elementuak lanaren VII liburuko 2. proposizioan bi segmenturen (zenbakiren) neurri komun handiena topatzeko metodo bat deskribatzen du, zenbakiak haien artean lehenak ez diren kasurako.
« | Elkarren artean lehenak ez diren bi zenbakiren gehienezko neurri komuna aurkitzeko.
![]() Izan bitez AB, CD emandako bi zenbaki elkarrekiko ez-lehenak. Bada, AB, CD zenbakien neurri komun handiena aurkitu behar da. |
» |
Euklides. Elementuak VII.2 |
Metodoa termino geometrikoetan azaldu zen garai hartan. Gaur egungo hizkuntza modernoan algoritmoa horrela deskribatzen da:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Euklidesen_algoritmoa.svg/122px-Euklidesen_algoritmoa.svg.png)
- Izan bitez AB eta CD bi segmentu, non AB>CD betetzen den. AB-ri CD kentzen diogu behin eta berriz posiblea den bitartean. Amaieran hondarrik geratzen ez bada, orduan CD da neurri komun handiena.
- EA hondarra geratzen bada, CD baino txikiagoa izango da eta prozesua errepika daiteke; CD-ri EA kenduko zaio behin eta berriz posiblea den bitartean. Azkenean hondarrik gelditzen ez bada, EA izango da neurri komuna. Bestela, EA baino txikiagoa den FC hondar berria lortuko da.
- Prozesua errepikatu behar da hondarrik geratuko ez den arte. Lortutako azken hondarra da neurri komun handiena.
Euklidesen algoritmoa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Zatiketa Euklidearraren definizioaren arabera, bi zenbaki oso eta izanik, , beste bi zenbaki oso eta existitzen dira eta bakarrak dira non
betetzen den, izanik eta -ren balio absolutua den. Hau da, zenbaki osoa zenbaki osoaz zatitzean zatidura eta hondarra lortzen dira.
Euklidesen algoritmoa zatiketa euklidearrean oinarritzen da eta bi zenbaki osoren zatitzaile komunetako handiena kalkulatzeko balio du. eta bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena adierazteko erabiltzen den notazioa da.
Euklidesen algoritmoaren oinarrizko printzipioa da. Bertatik ondorioztatzen da dela. Hortaz, Euklidesen algoritmoa erabiliz eta bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena horrela kalkulatzen da:
- bada da.
- Bestela, da, izanik eta -ren arteko zatiketa euklidearraren hondarra.
Demagun eta notazioaz adierazten direla. kalkulatzeko prozedura orokorra honakoa da:
Urratsa | a | b | Eragiketa | q | r | Esanahia |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | zati | |||||
2 | zati | |||||
3 | zati | |||||
... | ||||||
zati | ||||||
zati |
Hondarra txikituz doanez, azkenean 0 hondarra lortuko da eta prozedura amaituko da. eta zenbakien zatitzaile komunetako handiena ez den azken hondarra da: .
Adibidea.
eta izanik, horrela kalkulatzen da:
Urratsa | a | b | Eragiketa | q | r | Esanahia |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | zati | |||||
2 | zati | |||||
3 | zati |
sekuentziaren bidez, honakoa ondorioztatzen da: eta denez, da.
Orokortasuna
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Euklidesen algoritmoak ez du zenbaki arruntetarako soilik balio; hondarra uzten duen zatiketa bat dagoen beste kasuetara ere orokor daiteke. Koefiziente arrazionalak dituzten polinomioen arteko zatiketa euklidearra ere definitu daitekeenez, haien arteko zatitzaile komunetako handiena kalkula daiteke.
Adibidea.
Euklidesen algoritmoaren bidez eta polinomioen arteko zatitzaile komunetako handiena horrela kalkulatzen da:
Urratsa | Eragiketa | Esanahia |
---|---|---|
1 | zati ; hondarra: | |
2 | zati ; hondarra: | |
3 | zati ; hondarra: |
Hortaz, eta polinomioen zatitzaile komunetako handiena dela ondorioztatzen da.
Deskribapen formala
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Algoritmoa modu formalagoan adierazteko sasikodea erabil daiteke. Kasu honetan, "" adierazpenaren esanahia " zati eragiketarekin lortutako hondarra" da (ikus Aritmetika modular).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Euklides_algoritmoa.png)
Algoritmo hau ez da eraginkorra konputagailuan inplementatua izateko, balio guztiak gordetzea eskatzen duelako.
Euklidesen algoritmo hedatua
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Bi zenbaki osoren zatitzaile komunetako handiena haien konbinazio lineal moduan idatz daiteke. Formalki, eta bi zenbaki oso izanik, betetzen duten eta koefiziente osoak existitzen dira, edo izanik. Gainera, da eta zenbakien konbinazio lineal moduan idatz daitekeen zenbaki oso positiborik txikiena. eta koefizienteak ez dira bakarrak.
Euklidesen algoritmo hedatuari esker, kalkulatzeaz gain eta koefiziente osoak kalkula daitezke.
Oinarrizko printzipioak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Euklidesen algoritmo hedatua azaltzeko, hainbat modu daude. Erabilienetako bat honako hau da:
- Euklidesen algoritmoa erabiltzea. Urrats bakoitzean, zenbakia zenbakiaz zatitzean, zatidura eta hondarra lortzen dira. ekuazioaren bidez adierazten da.
- Ekuazio bakoitzean hondarra askatzen da ().
- Azken ekuazioaren hondarra azken-aurrekoan ordezkatzen da, eta azken-aurrekoa azken-aurrekoaren aurrekoan eta horrela lehenengo ekuaziora iritsi arte. Urrats bakoitzean hondarra zenbakien konbinazional lineal moduan adierazita agertuko da.
Aplikazioak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Zatikien sinplikazioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Zatikiekin eragitean, sinplifikazioak egitea oso garrantzitsua gertatzen da. Esaterako, eta zatikiak baliokideak dira (ikus Zenbaki arrazional). Izan ere, bada, zatikiak baliokideak dira. Oro har, zatikia sinplifikatzeko, eta zenbakiak haien zatitzaile komunetako handienaz zatitu behar dira.
Adibidea.
zatikia sinplifikatzeko, denez, eta zatiketak egiten dira, eta = baliokideak direla ondorioztatzen da.
Zatiki jarraituak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Euklidesen algoritmoa aplikatzean egiten den zatiketa euklidear sorta zatikia zatiki jarraitu moduan adierazteko erabil daiteke. Izan ere, eta badira, zera betetzen da:
Adibidea.
zatikia izanik, Euklidesen algoritmoa erabiliz kalkulatzean, honako zatiketa euklidear sorta egiten da:
Urratsa | Eragiketa | q | r | Esanahia |
---|---|---|---|---|
1 | zati | |||
2 | zati | |||
3 | zati | |||
4 | zati |
Ekuazio horiek guztiak era honetan ere idatz daitezke:
Bigarren ekuazioa lehenengoan ordezkatuz gero, honakoa lortzen da:
Gainerakoak ere ordenatuz, honako adierazpena lortzen da:
Oro har, zera baiezta daiteke:
Biderketarekiko alderantzizko modular
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- Artikulu nagusia: Biderketarekiko alderantzizko modular.
Bi zenbaki oso eta kongruenteak dira modulu , balioaz zatitzean hondar bera lortzen bada. Adibidez, 7 eta 12 kongruenteak dira modulu 5, 7 zenbakia eta 12 zenbakia 5ez zatitzean 2 hondarra lortzen delako. eta zenbakiak kongruenteak direla modulu adierazteko
notazioa erabiltzen da. Aurreko adibideko kongruentzia, beraz, horrela adierazten da:
- .
Demagun eta balioak ezagunak direla, baina honako kongruentzia betetzen duen ezezaguna dela:
betetzen duen balioa aurkitu behar da. Horrela, aurreko ekuazioa -ekin biderkatuz, nahi den soluzioa lortuko da:
balioa ren alderantzizkoa modulu dela esaten da.
Balio hori ez da beti existitzen. Esaterako, eta balioetarako ez da existitzen zenbaki osorik non betetzen den. Izan ere, balioa existitzeko bete behar da, hau da, zenbakiak elkarrekiko lehenak izan behar dute. Euklidesen algoritmo hedatua erabiltzean () , lortzen bada, orduan balioa ren alderantzizkoa da, modulu . Adibidez, honako ekuazio hau ebatzi nahi bada:
Orduan, Euklidesen algoritmo hedatuarekin lortzen da. denez, 5-ak badu alderantzizkoa modulu 9. Gainera, denez, alderantzizko hori 2 da. Hortaz,
- ,
hau da, da.
Bézouten Identitatea
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- Artikulu nagusia: Bézouten identitate.
Bézouten identitateak zera dio: zeroren ezberdinak diren eta bi zenbaki oso eta haien zatitzaile komun handiena izanik, honakoa betetzen duten eta bi zenbaki oso existitzen direla:
eta koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez kalkula daitezke.
Algoritmoaren konplexutasuna
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Lamé-ren teoremak baieztatzen du Euklidesen algoritmoa aplikatzean kasurik okerrena Fibonacci-ren segidako ondoz ondoko bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena kalkulatzean ematen dela.
Adibidea.
eta zenbakien zatitzaile komunetako handiena kalkulatzeko honako eragiketak egin behar dira:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png/220px-Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png)
Urratsa | Eragiketa | q | r | Esanahia |
---|---|---|---|---|
1 | zati | |||
2 | zati | |||
3 | zati | |||
4 | zati | |||
5 | zati | |||
6 | zati | |||
7 | zati | |||
8 | zati | |||
9 | zati |
Ikusten denez, bi digituko bi zenbaki horietarako 9 zatiketa egin behar izan dira. Oro har, egindako zatiketa kopurua zenbakiek duten digito kopurua bider 5 baino altuagoa ez da inoiz izango.
Konplexutasun konputazionalari dagokionez, eta -ren kalkulatzeko zatiketa egin beharko dira, izanik.
Brigitte Valleek frogatu zuen bi zenbakiak bitetan adieraz badaitezke, orduan bataz bestean egin beharreko zatiketa kopurua dela.
Hala ere, ez da nahikoa zatiketa kopurua ezagutzea. Aurretik aipatu den moduan, Euklidesen algoritmoak polinomioetan eta zenbaki osoetan funtzionatzen du eta, oro har, edozein eremu euklidearretan. Kasu bakoitzean, algoritmoaren konplexutasuna egin behar den zatiketa kopuruaren eta zatiketa bakoitza egitearen kostuaren mende dago. Polinomioen kasuan, egin beharreko zatiketa kopurua da, polinomioen gradua izanik.
Bibliografia
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- von zur Gathen, Joachim; Gerhard, Jürgen (2003). «The Euclidean Algorithm». Modern Computer Algebra
- Cambridge University Press. ISBN 0-521-82646-2.
- Shoup, Victor (2008). «Euclid’s algorithm». A Computational Introduction to Number Theory and Algebra
- Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85154-1.
- Johnsonbaugh, Richard (2005). «Introducción a la teoría de números». Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
- Ralph P. Grimaldi (1998). «Propiedades de los números enteros: Inducción matemática». Matemáticas Discreta y Combinatoria. México: Addison Wesley Longman de México. ISBN 968-444-324-2.
- Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2009). «Propiedades de los enteros». Matemáticas Discretas. McGraw-Hill. ISBN 978-970-10-7236-3.
- Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Análisis de algoritmos». Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRENTICE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
- Vallée, Brigitte (2002). «Dynamical Analysis of α-Euclidean Algorithms»
- Journal of Algorithms 44 (1). ISSN 0196-6774 , pp. 246-285.
- Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford (2009). «Number-Theoretic Algorithms». Introduction to Algorithms. The MIT Press. ISBN 978-0-262-53305-8.
- Barrera Mora, Fernando (2005). «Definiciones y resultados generales». Introducción a la Teoría de Grupos
- Publicaciones Electrónicas de la Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 968-9161-02-4.
- Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Tomás, Francisco (2004). «Divisibilidad». Álgebra Superior. México: Trillas. ISBN 968-24-3783-0.
- Pérez Seguí, María Luisa (2006). «Divisibilidad». Teoría de Números. Instituto de Matemáticas, UNAM. ISBN 970-32-1170-0.
- Sánchez Velázquez, Jesús (1998). «Algoritmos para números grandes». Introducción al análisis de algoritmos. México: Trillas. ISBN 968-24-4341-5.
- Baldor, Aurelio (2008). «Máximo común divisor». Álgebra. México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.
Euklidesen algoritmoa polinomioekin
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Izan bitez f, g ∈ K[x] eta deg f ≥ deg g. Zatiketaren algoritmoa erabiliz, f = gh + r non r = 0 edo deg r < deg g den. Orduan,
- r = 0 bada, g f-ren zatitzailea da eta bien zatitzaile komun handiena g-ren multiplo monikoa da;
- r 6= 0 bada, f eta g-ren zatitzaile komunak eta g eta r-ren zatitzaile komunak berdinak dira.
Bigarren kasuan, zatiketaren algoritmoa erabil dezakegu g eta r-rako eta lortzen dugun hondar berria 0 ez bada, r-ren maila baino txikiagoa izango du. Behin eta berriro erabiliko dugu algoritmoa hondarra 0 izan arte. Hori noizbait gertatuko da eta orduantxe erabili dugun zatitzailea moniko eginez, lortu dugu zatitzaile komun handienaren definizioa betetzen duen polinomioa. Hala dela ikusteko, polinomio horrek Bézouten identitatea betetzen dela ondorioztatzen da lehenengo. Hori Euklidesen algoritmoak ematen du, zenbakien kasuan ikusi dugun moduan. Behin identitate hori eskutan, argi dago f eta g-ren edozein zatitzailek lortu dugun polinomioa zatituko duela.