Aknafunktsioon

Aknafunktsioon (inglise keeles window function) on matemaatiline funktsioon, mis on väljaspool valitud vahemikku (akent) null. Digitaalses signaalitöötluses määrab see funktsioon kindlaks, milline osakaal on signaali digiteerimesel aknasse jäävatel diskreediväärtustel signaali edasises töötluses. Kui mõnda teist funktsiooni (andmejada, lainekuju) aknafunktsiooniga korrutada, siis on ka tulemus väljaspool määramispiirkonda null. Aknast väljapoole jäävat andmeosa edasises andmetöötluses ei kasutata.

Aknafunktsiooni graafik on üldiselt vahemiku keskpunkti (tipu) suhtes sümmeetriline.

On mitut liiki aknafunktsioone, mida kasutatakse sagedusanalüüsis (näiteks diskreetse Fourier' teisenduse abil), sagedusfiltrite projekteerimisel, lainekimbu moodustamisel ja muudes signaalitöötluse rakendustes.

Rakendused

Sagedusanalüüs

Pidev signaal jagatakse töötlemisel harilikult üksikuteks plokkideks. Et plokid on lõpliku pikkusega, siis kaasneb sellega nn lekkenähtus (ingl leakage effect): kui ploki pikkus pole täpselt signaali perioodide naturaalarvu kordne, siis lisandub signaalile parasiitne sagedusspekter. See nähtus tuleneb Fourier' teisenduse omadustest.

Sobivalt valitud aknafunktsiooniga saab lekkenähtuse mõju vähendada, kuigi mitte täiesti kõrvaldada. Seejuures toimub signaaliploki tehislik periodiseerimine ajaakna ulatuses.

Aknafunktsiooni abil saab mõjutada ka sageduslikku selektiivsust ja suurimat võimalikku spektraalset viga. Kasutusel on mitmeid aknafunktsioone erinevateks rakendusjuhtudeks.

Filtrite projekteerimine

Aknameetodit kasutatakse sageli lõpliku siirdega digitaaliltrite (FIR-filtrte) projekteerimisel. Nii saadakse Fourier’ pöördteisendust rakendades täpselt soovitud sageduskarakteristikuga filter.

Fourier’ pöördteisenduse tulemus on tegelikult lõpmata pikk. Et saada lõpliku pikkusega impulsskoste antud siirdekestusega filtri jaoks, valitakse aknafunktsiooni abil teisenduse tulemusest vajalik lõik. Filtri tegelik sageduskarakteristik vastab siis soovitud sageduskarakteristiku ja aknafunktsiooni korrutisele.

Filtrite projekteerimisel annavad laiad (selektiivsed) aknafunktsioonid järsu ülemineku pääsu- ja tõkkeala vahel (seega kitsa siirdeala), kusjuures sumbumus tõkkealas on mõõdukas; kitsaste aknafunktsioonide kasutamisel on siirdeala laiem, aga tõkkealas signaal paremini alla surutud.

Aknafunktsioonide näiteid

Järgnevalt esitatakse levinumaid aknafunktsioone. Neid illustreerivatel graafikutel on vasakul kujutatud N väärtusega diskreetne aknafunktsioon ja paremal 128 sageduskomponendiga aknafunktsioon, mis on saadud diskreetse Fourier’ teisenduse (DFT) teel. Selle aknafunktsiooni sagedusspektriga töödeldakse signaali tema sagedusalas.

Valemites on $M$ täisarvuline aknalaius ja . $n$ sisendsignaali aktuaalne indeks. Kui pole teisiti märgitud, siis $n=0,\dotsc ,M-1$ ja maksimum on $n=M/2$ juures. Seejuures eksisteerib ka samaväärne ja faasis nihutatud sümmeetriline kujutis 0 ümber. Sel juhul avaldub indeks kujul

n=-{\frac {M}{2}},\dotsc ,{\frac {M}{2}}-1,

maksimumumile vastab siis $n=0$ .

Ristkülikuline aken

Ristkülikfunktsioon on kogu akna laiuses 1 ja sellest väljaspool 0:

w(n)=1,\qquad n=0,\dotsc ,M-1

See aknafunktsioon on kasutatav sisendsignaali plokkide lihtsal töötlemisel. Signaali absoluutväärtuse spekter vastab sinc-funktsiooni kõverale. Akendamisega ei kaasne ajaliselt diskreeditud signaalis lekkenähtust ainult sel juhul, kui akna laius on täpselt kordne harmoonilise võnkumise perioodide arvuga.

Kolmnurkne aken

$w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N,$ kus $L$ võib olla $N$ , $N+1$ või $N+2$ . Esimene on tuntud ka kui Bartletti või Fejér'i aken.

Blackmani aken

Blackmani akent kirjeldab funktsioon

w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right),

kus

a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}

ja

n=0,\dotsc ,N-1.

Klassikalise Blackmani akna korral valitakse harilikult $\alpha =0{,}16$ .

Blackmani-Harrise aken

Funktsioon avaldub kujul

w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{M-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{M-1}}\right)

,

kus

a_{0}=0{,}35875;\quad a_{1}=0{,}48829;\quad a_{2}=0{,}14128;\quad a_{3}=0{,}01168

.

Frederic J. Harris avaldas selle funktsiooni 1978 Blackmani variandina.

Koosinusaken

Koosinus-aknafunktisioon on tuntud ka kui siinus-aknafunktsioon:

w(n)=\cos \left({\frac {\pi n}{M-1}}-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi n}{M-1}}\right)

.

Gaussi aken

Gaussi aknafunktsioon põhineb Carl Friedrich Gauss normaaljaotuse kõveral, mis on leiendatud lõpmatuseni välja venitatud ja vajab seetõttu ajalist piirangut; see tähendab kombinatsiooni ristkülikulise akna funktsiooniga.

Aknafunktsioon

w(n)=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-(M-1)/2}{\sigma (M-1)/2}}\right)^{2}},

kus

\sigma \leq \;0{,}5.

Tukey'i aken

$\left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}$

α = 0 juures see funktsioon on kast aken ja α = 1 juures see on Hanni aken.

Hanni ja Hammingu aknad

Tavapärane koosinuste summa aken, kui K = 1:

$w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N$

seades a₀ = 0.5, saame Hanni akna:

$w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right)$

nimetatud Julius von Hanni järgi. Hanni akna äärepunktid puutuvad nulli, Hammingu aken mitte. Tulemusena kõrvalsagarad kahanevad umbes 18 dB oktavi kohta.

Seades a₀ = 0.54, või täpsemalt 25/46 saame Hammingu akna. Välja pakutud Richard W. Hammingu poolt. See valik eemaldab esimese kõrvalsagara sagedusel 5 $\pi$ /(N−1)

Poissoni aken

Poisson'i aken või üldisemalt eksponentsiaalaken kasvab eksponentsiaalselt akna keskosani ja langeb eksponentsiaalselt keskelt lõpu poole. Kuna eksponentfunktsioon ei jõua kunagi nullini, siis akna väärtused akna äärtes ei ole nullid.

Poisson'i aknafunktsiooni valem:

$w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},$

kus τ on aja konstant. Eksponentfunktsioon kahaneb 8.69 dB võrra ajakonstandi kohta. ^[1] See tähendab, et leitava languse D dB kohta poole akna pikkuse kohta on τ: $\tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.$

Hübriid aknafunktsioonid

Hübriid aknafunktsioon on kombinatsioon erinevatest akendest, neid korrutades või liites.

Bartlett-Hann aken

$w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)$

$a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,$

Hann-Poissoni aken

Saadakse, korrutades Hanni akna Poisson'i aknaga. Kui $\alpha \geqslant 2$ , siis sel pole kõrvalsagaraid, sest Fourier' pööre kahaneb ilma miinimumita. Seda kasutatakse hill climbing algoritmides nagu Newtoni meetod.

$w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,$ ,

kus α määrab eksponendi kalde.

Aknafunktsioonide võrdluskriteeriumid

Aknafunktsiooni parameetrid ristkülikulise funktsiooni näitel: akna laius $M=16$ , peamaksimumi laius $B_{-3\,\mathrm {dB} }$ , peamaksimumi kogulaius (kuni nullkohtadeni) $B_{0}$ , kõrvalmaksimumide suhteline amplituud $A_{\mathrm {SL} }$ , suurim diskreetimisviga $E_{\mathrm {A} }$

Aknafunktsioonide võrdlemisel ja konkreetseks vajaduseks sobiva funktsiooni valimisel tuginetakse järgmistele kriteeriumidele:

Peamaksimumi laius. Peamaksimumi laiust määratletakse harilikult –3 dB tasemel, s.o tasemel, millel amplituud on langenud maksimumist 3 dB võrra. Harvemini võetakse aluseks kogulaius nullkohtadeni. Mida laiem on peamaksimum, seda madalamad on kõrvalmaksimumid ja seda väiksem on lekkenähtus. Siiski väheneb seejuures sagedusselektiivsus.
Kõrvalmaksimumide suhteline amplituud. Aknafunktsiooni tugevad kõrvalmaksimumid suurendavad lekkenähtust sagedusanalüüsil ja vähendavad funktsiooni dünaamikat. Hinnangukriteeriumina kasutatakse peamaksimumi amplituudi ja kõrvalmaksimumide amplituudi suhet.
Lekkenähtus. Seda defineeritakse kui kõigi kõrvalmaksimumide võimsuse ja kogu funktsiooni võimsuse suhet. Lekkenähtus avaldub sügavate kõrvalmaksimumide kujul.
Suurim diskreetimisviga. Seda parameetrit väljendab peamaksimumi amplituudi suhe amplituudisse sagedusel π/aknalaius.

Mida laiem on peamaksimum, seda madalamad on kõrvalmaksimumid. Näiteks kui ristkülikulise akna korral on akna laius $4\pi /(M+1)$ , kõrvalmaksimumide suhteline amplituud –13 dB ja suurim diskretimisviga 3,92 dB, siis Blackmani akna korral on vastavad väärtused –57 dB, $12\pi /M$ ja 1,1 dB.