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Espacio normado auxiliar

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En análisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos con el fin de definir operadores nucleares y espacios nucleares:[1]

  • El primero de estos métodos se utiliza si el disco está acotado. En este caso, el espacio normado auxiliar es , con la norma
  • El otro método se utiliza si el disco es absorbente. En este segundo caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente

Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y espacios normados).

Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

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En este artículo, será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y será un disco en

Espacio seminormado inducido por un disco

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Sea un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto de el Funcional de Minkowski de se define por:

  • Si , entonces define como la aplicación trivial [2]​ y se asumirá que [note 1]
  • Si y si es absorbente en , entonces denota el funcional de Minkowski de en por

donde para todos los esto se define por :

Sea un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto de tal que el funcional de Minkowski sea una seminorma en denótese por

que se denomina seminorma inducida por donde si es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por

Supuesto (Topología): está dotado de la topología de la seminorma inducida por que se denotará por o

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto la estructura algebraica de y la topología habitual en (ya que se define usando solo el conjunto y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión se denomina "aplicación canónica".[1]

Supóngase que es un disco. Entonces, para que sea absorbente en el sistema generador de El conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo en El funcional de Minkowski del disco en garantiza que esté bien definido y forme una seminorma en [3]​ La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología que se definió anteriormente.

Definición de disco de Banach

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Un disco acotado en un espacio vectorial topológico tal que sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en

Si se muestra que es un espacio de Banach, entonces será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco y de el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT sea un subconjunto acotado de es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT que lo contiene.

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

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Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

Teorema[4][5][1]

Si es un disco en un espacio vectorial topológico (EVT) entonces está acotado en si y solo si la aplicación de inclusión es continua.

Demostración
Si el disco está delimitado en el EVT , entonces para todos los entornos del origen en existe algún tal que

De ello se deduce que en este caso la topología de es más fina que la topología subespacial que hereda de lo que implica que la aplicación de inclusión es continua. Por el contrario, si tiene una topología EVT tal que es continua, entonces para cada entorno del origen en existe algún tal que lo que demuestra que está acotado en

Hausdorffsidad

El espacio es de Hausdorff si y solo si es una norma, lo que ocurre si y solo si no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.[6]​ En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff , de modo que esté acotado en , entonces es una norma. Un ejemplo en el que no es de Hausdorff se obtiene dejando que y dejando que sea el eje .

Convergencia de redes

Supóngase que es un disco en tal que es de Hausdorff y sea una red en Entonces, en si y solo si existe un red de números reales tal que y para todo ; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que para todo

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si , entonces y en se define la siguiente aplicación lineal continua:[5]

Si y son discos en con , entonces denomínese a la aplicación de inclusión la "inclusión canónica" de en

En particular, la topología subespacial que hereda de es más débil que la topología inducida por la seminorma de .[5]

El disco como bola unitaria cerrada

El disco es un subconjunto cerrado de si y solo si es la bola unitaria cerrada de la seminorma ; esto es

Si es un disco en un espacio vectorial y si existe una topología EVT en tal que es un subconjunto cerrado y acotado de entonces es la bola unitaria cerrada de (es decir, ) (véase nota al pie para su demostración).[note 2]

Condiciones suficientes para un disco de Banach

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El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto, será un disco Banach en cualquier EVT en el que esté acotado.

Teorema[7]

Sea un disco en un espacio vectorial Si existe una topología EVT de Hausdorff en tal que es un subconjunto secuencialmente completo acotado de entonces es un espacio de Banach.

Demostración
Supóngase sin pérdida de generalidad que y sea el funcional de Minkowski de

Dado que es un subconjunto acotado de un EVT de Hausdorff, no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que es una norma. Sea la topología de una norma en inducida por donde, dado que es un subconjunto acotado de es más fina que

Debido a que es convexo y equilibrado, para cualquier

Sea una secuencia de Cauchy en Al reemplazar con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de generalidad que para todo

Esto implica que para cualquier

de modo que en particular, tomando se deduce que está contenido en Dado que es más fina que es una secuencia de Cauchy en Para todo es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de En particular, esto es cierto para , por lo que existe algún tal que en

Dado que para todos los fijando y tomando el límite (en ) como se deduce que para cada Esto implica que es lo que implica exactamente que en Esto demuestra que está completo.

Esta suposición está permitida porque es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.

Tenga en cuenta que incluso si no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco que satisfaga

porque

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

  • Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.[5]
  • Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.[8]
  • La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.[5]

Supóngase que es un disco acotado en un EVT

  • Si es una aplicación lineal continua y es un disco de Banach, entonces es un disco de Banach y induce un isomorfismo sobre el EVT

Propiedades de los discos de Banach

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Sea un EVT y sea un disco limitado en

Si es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff , y si es barrilado en , entonces absorbe a (es decir, hay un número tal que [4]

Si es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en , entonces la colección de todos los entornos donde abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en Cuando tiene esta topología, se denota por Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff se denota por , de modo que es un espacio de Hausdorff completo y es una norma en este espacio que convierte a en un espacio de Banach. El polar de es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en y, por lo tanto, es infracompleto.

Si es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado en tal que y tanto como inducen la misma topología del subespacio en [5]

Inducido por un disco radial – cociente

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Supóngase que es un espacio vectorial topológico y es un conjunto convexo equilibrado y radial. Entonces, es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa en Esta topología de EVT está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por que es una seminorma en definida por La topología es de Hausdorff si y solo si es una norma, o equivalentemente, si y solo si o equivalente, para lo cual basta que esté acotado en La topología no tiene por qué ser de Hausdorff, pero sí que lo es. induce una norma sobre donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia elegida. El espacio normado se denota por y su completación se denota por

Si además, está acotado en , entonces la seminorma es una norma, por lo que en particular, En este caso, se toma como el espacio vectorial en lugar de , de modo que la notación no sea ambigua (si denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).[1]

La topología cociente en (heredada de la topología original de ) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

Aplicaciones canónicas

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La aplicación canónica es la clase de equivalencia que es continua cuando tiene la topología normal o la topología del cociente.[1]

Si y son discos radiales tales como , entonces , por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua , definida enviando a la clase de equivalencia donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia que se elija.[1]

Esta aplicación canónica tiene la norma ,[1]​ y posee una extensión canónica lineal continua única a que se denota por

Supóngase además que y son discos acotados en con , de modo que y la inclusión sea una aplicación lineal continua. Sean y las aplicaciones canónicas. Entonces, y [1]

Inducido por un disco radial acotado

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Supóngase que es un disco radial acotado. Dado que es un disco acotado, si , entonces se puede crear el espacio normado auxiliar con la norma . Como es radial, Dado que es un disco radial, si , entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar con la seminorma . Debido a que está acotado, esta seminorma es una norma y , por lo que entonces Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

Dualidad

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Supongamos que es un disco equicontinuo débilmente cerrado en (esto implica que es débilmente compacto) y sea

el polar de Debido a que según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo pertenece a si y solo si pertenece al espacio dual continuo de donde es el funcional de Minkowski de definido por [9]

Conceptos relacionados

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Un disco en un EVT se llama infrabornivoro[5]​ si absorbe todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotada[5]​ si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Convergencia rápida

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Se dice que una sucesión en un EVT es "rápidamente convergente"[5]​ a un punto si existe un disco de Banach tal que tanto como la sucesión estén (finalmente) contenidos en y en

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.[5]

Véase también

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Notas

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  1. Este es el espacio vectorial más pequeño que contiene Alternativamente, si entonces puede reemplazarse por
  2. Supóngase sin pérdida de generalidad que Dado que está cerrado en también está cerrado en y dado que la seminorma es el funcional de Minkowski de que es continuo en se deduceNarici y Beckenstein (2011, pp. 119–120) que es la bola unitaria cerrada en

Referencias

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  1. a b c d e f g h Schaefer y Wolff, 1999, p. 97.
  2. Schaefer y Wolff, 1999, p. 169.
  3. Trèves, 2006, p. 370.
  4. a b Trèves, 2006, pp. 370-373.
  5. a b c d e f g h i j Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-457.
  6. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 115-154.
  7. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-442.
  8. Trèves, 2006, pp. 370–371.
  9. Trèves, 2006, p. 477.

Bibliografía

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Enlaces externos

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