Ορθόκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο που τέμνονται τα ύψη του τριγώνου (ή οι προεκτάσεις τους).

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο, το ορθόκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου, σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι εξωτερικό και σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ταυτίζεται με την κορυφή που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία.

Το ορθόκεντρο ${\rm {H}}$ σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Αποδείξεις

Θεώρημα —  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, τα ύψη $\upsilon _{\alpha },\upsilon _{\beta },\upsilon _{\gamma }$ (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη (με αντισυμπληρωματικό τρίγωνο)   [ Βήμα προς βήμα ]  

Τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι οι μεσοκάθετοι του ${\rm {K\Lambda M}}$.

Έστω τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$. Θα κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ${\rm {K\Lambda M}}$ ώστε οι μεσοκάθετοι των πλευρών του να συμπίπτουν με τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$. Για τις μεσοκαθέτους γνωρίζουμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο, και έτσι θα καταλήξουμε ότι και τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$ (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Θεωρούμε την ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {A}}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {B\Gamma }}$, την ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {B}}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {A\Gamma }}$ και την ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {\Gamma }}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {AB}}$. Έστω ${\rm {K\Lambda M}}$ το τρίγωνο που σχηματίζουν αυτές οι τρεις ευθείες.

Το τετράπλευρο ${\rm {KAB\Gamma }}$ είναι παραλληλόγραμμο καθώς οι πλευρές του είναι παράλληλες, επομένως

${\rm {AK}}={\rm {B\Gamma }}=\alpha$.

Αντίστοιχα, από το παραλληλόγραμμο ${\rm {A\Lambda \Gamma B}}$ έχουμε ότι

${\rm {\Lambda A}}={\rm {B\Gamma }}=\alpha$.

Συνεπώς το ${\rm {A}}$ είναι το μέσο του ${\rm {K\Lambda }}$ και η μεσοκάθετος του ${\rm {K\Lambda }}$ διέρχεται από το ${\rm {A}}$. Επίσης είναι κάθετη στο ${\rm {B\Gamma }}$ (καθώς ${\rm {K\Lambda }}\parallel {\rm {B\Gamma }}$), άρα το ύψος $\upsilon _{\alpha }$ ανήκει σε αυτή.

Αντίστοιχα, τα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ είναι τα μέσα των ${\rm {\Lambda M}}$ και ${\rm {KM}}$, και τα $\upsilon _{\beta }$ και $\upsilon _{\gamma }$ ανήκουν στις μεσοκαθέτους των ${\rm {\Lambda M}}$ και ${\rm {KM}}$. Συνεπώς, καταλήγουμε ότι τα ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το περίκεντρο του ${\rm {K\Lambda M}}$.

Απόδειξη (με εγγεγραμμένα τετράπλευρα)   [ Βήμα προς βήμα ]  

Σχήμα απόδειξης για το ορθόκεντρο.

Έστω τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$. Τα ύψη ${\rm {BE}}$ και ${\rm {\Gamma Z}}$ τέμνονται στο ${\rm {H}}$. Θα αποδείξουμε ότι και η ${\rm {AH}}$ είναι κάθετη στην ${\rm {B\Gamma }}$, δλδ ύψος του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

• Το τετράπλευρο ${\rm {BZE\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο, διότι έχει τις γωνίες $\angle {\rm {BZ\Gamma }}=\angle {\rm {\Gamma EB}}=90^{\circ }$. Άρα και οι γωνίες $\angle {\rm {ZEB}}=\angle {\rm {Z\Gamma B}}=\omega$ (βαίνουν στο ίδιο τόξο).
• Το τετράπλευρο ${\rm {AZHE}}$ είναι εγγράψιμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του $\angle {\rm {AEH}}$ και $\angle {\rm {AZH}}$ παραπληρωματικές ($\angle {\rm {AEH+\angle {\rm {AZH=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }}}}}$). Άρα και οι γωνίες $\angle {\rm {ZAH}}$ και $\angle {\rm {ZEH=\omega }}$ είναι ίσες.
• Οι γωνίες $\angle {\rm {AHZ}}$ και $\angle {\rm {\Delta H\Gamma }}$ είναι ίσες ως κατακορυφήν, δλδ $\angle {\rm {AHZ}}=\angle {\rm {\Delta H\Gamma }}=\varphi$. Από το τρίγωνο ${\rm {AHZ}}$, έχουμε ότι $\varphi +\omega =90^{\circ }$, τότε στο τρίγωνο ${\rm {H\Delta \Gamma }}$ είναι $\angle {\rm {A\Delta \Gamma }}=90^{\circ }$.

Συνεπώς τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη (με διανύσματα)  

Ξανά θεωρούμε $\mathrm {H} '$ την τομή των υψών $\mathrm {BH_{B}}$ και $\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$. Θεωρούμε τα διανύσματα $a,b,c,h$ των σημείων $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {H} '$ αντίστοιχα. Αφού $\mathrm {BH_{B}}$ είναι ύψος είναι κάθετο στο ${\rm {A\Gamma }}$ και έχουμε ότι

${\vec {\rm {BH'}}}\cdot {\vec {\rm {A\Gamma }}}=0\Rightarrow (h-b)\cdot (c-a)=0$.

Αφού $\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ είναι ύψος έχουμε ότι

${\vec {\rm {\Gamma H'}}}\cdot {\vec {\rm {AB}}}=0\Rightarrow (h-c)\cdot (b-a)=0$.

Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη λαμβάνουμε ότι

$(h\cdot c-b\cdot c-a\cdot h+a\cdot b)-(h\cdot b-c\cdot b-a\cdot h+a\cdot c)=0$

Παραγοντοποιώντας τους όρους στο αριστερό μέλος, έχουμε ότι

$(c-b)\cdot (h-a)=0\Rightarrow {\vec {\rm {B\Gamma }}}\cdot {\vec {\rm {AH'}}}=0$,

και άρα το $\mathrm {AH'}$ είναι επίσης ύψος. Συνεπώς τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο, το $\mathrm {H} '$.

Απόδειξη (με θεώρημα του Τσέβα)  

Τα τρίγωνα $\mathrm {AH_{B}B}$ και $\mathrm {AH_{\Gamma }\Gamma }$ είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την ${\hat {\mathrm {A} }}$ ίση. Επομένως,

${\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {AH_{\Gamma }} }}$.

Αντίστοιχα,

${\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BH_{A}} }{\mathrm {BH_{\Gamma }} }}\quad$ και $\quad {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}={\frac {\mathrm {\Gamma H_{B}} }{\mathrm {\Gamma H_{A}} }}$.

Επομένως,

${\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {H_{B}\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {BH_{\Gamma }} }{\mathrm {H_{\Gamma }A} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma H_{A}} }{\mathrm {H_{A}B} }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}=1$,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν.

Ιδιότητες

Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ύψη ${\rm {AH_{\rm {A}}}}$, ${\rm {BH_{\rm {B}}}}$ και ${\rm {\Gamma H_{\rm {\Gamma }}}}$ και ορθόκεντρο ${\rm {H}}$, ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ και το περίκεντρο $\mathrm {O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO}$.
• (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία $\mathrm {H_{\mathrm {A} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {B} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {\Gamma } }}$, τα μέσα των $\mathrm {AH} ,\mathrm {BH} ,\mathrm {\Gamma H}$ και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το ορθόκεντρο είναι το σημείο $\mathrm {P}$ που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:

$f(\mathrm {P} )=\mathrm {PA} +\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } +\mathrm {PH_{A}} +\mathrm {PH_{B}} +\mathrm {PH_{\Gamma }}$.

Μετρικές σχέσεις

• Έστω $\mathrm {E}$ το εμβαδό του τριγώνου και ${\hat {\mathrm {A} }}>90^{o}$, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}{4\mathrm {E} }}$,

και αν $\mathrm {A} <90^{o}$, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2})}{4\mathrm {E} }}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}+\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {\Gamma H} ^{2}=12R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$

• Αν $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο, $\mathrm {G}$ το βαρύκεντρο, $(\mathrm {O} ,R)$ ο περιγεγραμμένος, $(\mathrm {I} ,\rho )$ o εγγεγραμμένος και $(\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε

$\mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

$\mathrm {HG} ^{2}=4R^{2}-4\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

$\mathrm {HI} ^{2}=2\rho ^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma }$,

$\mathrm {HI_{A}} ^{2}=2\rho _{\mathrm {A} }^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma }$.

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου είναι

$\sec A:\sec B:\sec C=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B$,

και οι βαρυκεντρικές του συντεταγμένες είναι

$\tan A:\tan B:\tan C=(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}):(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})(-\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}):(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2})(-\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$.

• Για τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$, ισχύει ότι
  • $\mathrm {AH} \cdot \mathrm {HH_{A}} =\mathrm {BH} \cdot \mathrm {HH_{B}} =\mathrm {\Gamma H} \cdot \mathrm {HH_{\Gamma }}$,
  • ${\frac {\mathrm {AH} }{\mathrm {HH_{A}} }}+{\frac {\mathrm {BH} }{\mathrm {HH_{B}} }}+{\frac {\mathrm {\Gamma H} }{\mathrm {HH_{\Gamma }} }}=1$.
  • $(\upsilon _{\mathrm {A} }+\upsilon _{\mathrm {B} }+\upsilon _{\mathrm {\Gamma } })\cdot \left({\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}\right)=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot \left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right)$.

Δείτε επίσης

• Ύψος τριγώνου
• Βαρύκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου
• Περίκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου