Ειδική σχετικότητα

Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1905.

Η «σχετικοποίηση» του χρόνου υπήρξε ένα από τα σημαντικότερα συμπεράσματα της ειδικής σχετικότητας. Ο χρόνος όχι μόνο μπορεί να κυλά με διαφορετικό ρυθμό για δυο παρατηρητές, αλλά και δυο γεγονότα που φαίνονται ταυτόχρονα σε έναν παρατηρητή μπορεί να μην είναι για έναν άλλον.

Η ειδική σχετικότητα ή ειδική θεωρία της σχετικότητας είναι η θεωρία που διατυπώθηκε από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1905, και η οποία συμπληρώνει τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα, ώστε να ισχύουν και σε ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας προκύπτει από την ικανοποίηση της γενικευμένης αρχής της σχετικότητας και της αρχής του Αϊνστάιν.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας εξετάζει φαινόμενα που βρίσκονται έξω από το πλαίσιο της άμεσης αντίληψής μας για τον κόσμο που μας περιβάλλει. Η εικόνα μας για τον κόσμο διαμορφώθηκε μέσα από τη φυσιολογία των αισθήσεών μας μέσα από κάποια εκατομμύρια χρόνια εξέλιξης. Όταν επιχειρούμε να θέσουμε υποθετικά ερωτήματα χρησιμοποιώντας την εικόνα που έχουμε για την καθημερινότητά μας σε φαινόμενα που δεν άπτονται αυτής, ενδέχεται να εμφανιστούν παραδοξότητες, όπως το παράδοξο των διδύμων. Τέτοιες παραδοξότητες έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά με σειρά πειραμάτων φαινόμενα όπως η διαστολή του χρόνου, η συστολή του μήκους, η ισοδυναμία μάζας-ενέργειας, και επιβεβαιώνονται καθημερινά στους σύγχρονους επιταχυντές σωματιδίων.

Ιστορία

Μια πρώτη μορφή της αρχής της σχετικότητας είχε διατυπωθεί ήδη από τον Γαλιλαίο και στη συνέχεια ενσωματώθηκε στη νευτώνεια σύνθεση. Η αρχή αυτή δήλωνε ότι όλοι οι νόμοι της μηχανικής πρέπει να έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η μετάβαση από το ένα αδρανειακό σύστημα στο άλλο γινόταν με ένα ορισμένο είδος μετασχηματισμών συντεταγμένων, που ονομάστηκαν αργότερα μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου ή αλλιώς, νόμος πρόσθεσης ταχυτήτων. Ενώ οι νόμοι της μηχανικής συμμορφώνονταν με τον μετασχηματισμό αυτό (ήταν αναλλοίωτοι κατά την εφαρμογή του), οι νόμοι του ηλεκτρομαγνητισμού, και ειδικά ο νόμος για την σταθερότητα και παγκοσμιότητα της ταχύτητας του φωτός, τον παραβίαζαν.

Ο Αϊνστάιν το 1905 στην περίφημη εργασία του «Περί της Ηλεκτροδυναμικής των κινουμένων σωμάτων», αντικατέστησε τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου με ένα νέο σύνολο μετασχηματισμών, τους μετασχηματισμούς του Λόρεντζ, και διετύπωσε την αρχή της σχετικότητας, σύμφωνα με την οποία όλοι οι νόμοι της Φύσης (μηχανικής, ηλεκτρομαγνητισμού και όποιοι άλλοι) είναι αναλλοίωτοι κάτω από τους νέους αυτούς μετασχηματισμούς και (πρέπει να) παίρνουν την ίδια μορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα, και τη σταθερή ταχύτητα του φωτός για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές.

Αξιώματα

Ο Αϊνστάιν διακρίνει δύο θεμελιώδεις προτάσεις που φαίνονται να είναι πιο επιβεβαιωμένες, ανεξάρτητα από την ακριβή ισχύ των τότε γνωστών νόμων της μηχανικής ή της ηλεκτροδυναμικής. Οι προτάσεις αυτές ήταν η σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός και η ανεξαρτησία των φυσικών νόμων (ιδιαίτερα η ταχύτητα του φωτός ως σταθερά) από την επιλογή του αδρανειακού συστήματος. Στην αρχική παρουσίαση της ειδικής σχετικότητας το 1905 ο Αϊνστάιν εξέφρασε αυτά τα αξιώματα ως εξής: 

• Η Αρχή της Σχετικότητας -. Οι νόμοι με τους οποίους οι καταστάσεις των φυσικών συστημάτων υπόκεινται σε αλλαγές δεν μεταβάλλονται, είτε δεχόμενοι τις αλλαγές αυτές ως προς ένα σύστημα αναφοράς είτε ως προς άλλο που κάνει ομοιόμορφη μεταφορική κίνηση σε σχέση με αυτό.
• Η Αρχή Αμεταβλητότητας (σταθερής) της ταχύτητας του φωτός - «... το φως πάντα διαδίδεται στο κενό με μια καθορισμένη ταχύτητα c η οποία είναι ανεξάρτητη από το είδος της κίνησης του σώματος που το εκπέμπει.» (Από τον πρόλογο). Δηλαδή, το φως διαδίδεται στο κενό με μια ταχύτητα c (σταθερή και ανεξάρτητη της κατεύθυνσης) σε τουλάχιστον ένα σύστημα αδρανειακών συντεταγμένων (αδρανειακό σύστημα), ανεξάρτητα από το είδος της κίνησης της φωτεινής πηγής.

Η προέλευση της ειδικής σχετικότητας δεν εξαρτάται μόνο από τα δύο αυτά ρητά αξιώματα, αλλά και από άλλες σιωπηρές υποθέσεις (όπως όλες σχεδόν οι θεωρίες της φυσικής), συμπεριλαμβανομένης της ισοτροπίας και της ομοιογένειας του χώρου για την ανεξαρτησία των ράβδων και των ρολογιών από το παρελθόν τους.

Μετά την αρχική παρουσίαση του Αϊνστάιν για την ειδική θεωρία της σχετικότητας το 1905, διάφορες διατυπώσεις έχουν προταθεί για αυτά τα αξιώματα.  Ωστόσο, η πιο κοινή μορφή των αξιωμάτων αυτών παραμένει η αρχική του Αϊνστάιν. Μια περισσότερο μαθηματική έκφραση της Αρχής της Σχετικότητας που έγινε αργότερα από τον Αϊνστάιν, εισαγάγει την έννοια της απλότητας, που δεν αναφέρεται στα παραπάνω και είναι:

Ειδική αρχή της σχετικότητας : Εάν ένα σύστημα συντεταγμένων Κ επιλεγεί, τέτοιο ώστε, σε σχέση με αυτό, οι φυσικοί νόμοι να ισχύουν στην απλούστερη μορφή τους, οι ίδιοι νόμοι ισχύουν σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο σύστημα συντεταγμένων Κ' που κάνει ομαλή κίνηση σε σχέση με το Κ.

Ο Ανρί Πουανκαρέ έδωσε το μαθηματικό πλαίσιο για τη θεωρία της σχετικότητας, αποδεικνύοντας ότι οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ είναι υποσύνολο της ομάδας Πουανκαρέ των συμμετρικών μετασχηματισμών. Αργότερα, ο Αϊνστάιν παρήγαγε αυτούς τους μετασχηματισμούς από τα αξιώματα του.

Πολλά από τα έγγραφα του Αϊνστάιν παρουσίαζαν παράγωγα των μετασχηματισμών Λόρεντζ που βασίζονται στις δύο αυτές αρχές.

Ο Αϊνστάιν βάσισε το αναλλοίωτο των μετασχηματισμών Λόρεντζ (τον βασικό πυρήνα της ειδικής σχετικότητας) σε μόνο δύο βασικές αρχές της σχετικότητας και της σταθεράς της ταχύτητας του φωτός. Είχε γράψει:

Η διορατική θεμελίωση για την ειδική θεωρία της σχετικότητας είναι η εξής: Οι υποθέσεις της σχετικότητας και η σταθερά της ταχύτητας του φωτός είναι συμβατά αν υποθέσουμε κάποιες σχέσεις ενός νέου τύπου «μετασχηματισμών Λόρεντζ», για τη μετατροπή των συντεταγμένων και των χρόνων των γεγονότων... Η καθολική αρχή της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας περιέχεται στο εξής αξίωμα: Οι νόμοι της φύσης είναι αμετάβλητοι (ίδιοι) σύμφωνα με τους μετασχηματισμού Λόρεντζ (για τη μετάβαση από ένα αδρανειακό σύστημα σε κάποιο άλλο αυθαίρετο). Αυτό θέτει μια περιοριστική αρχή για τους φυσικούς νόμους...

Έτσι πολλές νέες θεωρήσεις τη ειδικής θεωρίας της σχετικότητας βασίζονται στο μοναδικό αξίωμα της καθολικής συναλλοιότητας Λόρεντζ (Lorentz covariance), ή ισοδύναμα στο μοναδικό αξίωμα του χωρόχρονου Minkowski.

Η σταθερή ταχύτητα του φωτός υποκινήθηκε από την θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell και από την έλλειψη αποδεικτικών στοιχείων για την ύπαρξη του αιθέρα. Υπάρχουν αλληλοσυγκρουόμενα στοιχεία σχετικά με το βαθμό στον οποίο ο Αϊνστάιν είχε επηρεαστεί από το μηδενικό αποτέλεσμα του πειράματος των Μάικελσον και Μόρλεϋ.  Σε κάθε περίπτωση, το μηδενικό αποτέλεσμα του πειράματος των Μάικελσον και Μόρλεϋ, βοήθησε την έννοια της σταθερής ταχύτητας του φωτός να κερδίσει ευρεία και ταχεία αποδοχή.

Απουσία απόλυτου συστήματος αναφοράς

Η αρχή της σχετικότητας, η οποία δηλώνει ότι δεν υπάρχει κανένα προτιμώμενο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, χρονολογείται από τον Γαλιλαίο και ενσωματώθηκε στη νευτώνεια φυσική. Ωστόσο, στα τέλη του 19ου αιώνα, η ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων οδήγησε τους φυσικούς να προτείνουν ότι το σύμπαν ήταν γεμάτο με μια ουσία που ονομάζεται αιθέρας, η οποία θα λειτουργούσε ως το μέσο με το οποίο αυτά τα κύματα ή δονήσεις ταξιδεύουν. Ο αιθέρας θεωρούνταν ότι αποτελεί ένα απόλυτο σύστημα αναφοράς όπου οι ταχύτητες μπορούν να μετρηθούν και ότι μπορεί να θεωρηθεί σταθερό και ακίνητο. Επίσης υπέθεταν ότι διαθέτει μερικές θαυμάσιες ιδιότητες όπως ότι ήταν αρκετά ελαστικός για να υποστηρίξει τη μετάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και την αλληλεπίδρασή τους με την ύλη, ωστόσο δεν προέβαλλε καμία αντίσταση στα σώματα που διέρχονται από αυτόν. Τα αποτελέσματα διαφόρων πειραμάτων, συμπεριλαμβανομένου του πειράματος Μάικελσον και Μόρλεϋ, έδειξαν ότι η Γη ήταν πάντα σταθερή σε σχέση με τον αιθέρα - κάτι που ήταν δύσκολο να εξηγηθεί, δεδομένου ότι η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο. Η λύση του Αϊνστάιν ήταν να απορρίψει την έννοια του αιθέρα και την απόλυτη κατάσταση ηρεμίας. Στη σχετικότητα, οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς κινείται με ομοιόμορφη μεταφορική κίνηση θα παρατηρεί τους ίδιους νόμους της φυσικής. Ειδικότερα, η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι πάντα c, ακόμη και όταν μετράται σε πολλαπλά συστήματα που κινούνται με διαφορετικές (αλλά σταθερές) ταχύτητες.

Σύστημα αναφοράς, συντεταγμένες και οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ

Το τονούμενο σύστημα κινείται σε σχέση με το μη-τονούμενο με σταθερή ταχύτητα v και μόνο κατά τον άξονα x, όπως το αντιλαμβάνεται κάποιος ακίνητος παρατηρητής στο μη-τονούμενο σύστημα.

Η θεωρία της σχετικότητας εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Το σύστημα αναφοράς χρησιμοποιείται εδώ ως το σύστημα του παρατηρητή το οποίο δεν μεταβάλλει την κίνησή του (δεν επιταχύνεται) και όπου μια θέση μπορεί να μετρηθεί κατά μήκος των 3 χωρικών αξόνων. Επιπλέον, ένα σύστημα αναφοράς έχει την ικανότητα να καθορίζει τις μετρήσεις του χρόνου των γεγονότων χρησιμοποιώντας ένα «ρολόι» (οποιαδήποτε συσκευή με ομοιόμορφη περιοδικότητα, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αναφορά).

Ένα γεγονός είναι ένα συμβάν στο οποίο μπορεί να ανατεθεί ένας μοναδικός χρόνος και μία θέση στο χώρο, σε σχέση με το σύστημα αναφοράς. Πρόκειται για ένα «σημείο» στον χωροχρόνο. Δεδομένου ότι η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή σε σχέση με κάθε σύστημα αναφοράς, παλμοί φωτός μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση αποστάσεων και να αναφέρουν τον χρόνο που συνέβησαν τα γεγονότα σε σχέση με το ρολόι, αν και το φως χρειάζεται χρόνο για να φτάσει στο ρολόι με το πέρας κάποιου γεγονότος.

Για παράδειγμα, η έκρηξη από ένα πυροτέχνημα μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα «γεγονός». Μπορούμε να καθορίσουμε πλήρως ένα γεγονός από τις τέσσερις συντεταγμένες του χωροχρόνου του. Ο χρόνος του συμβάντος και οι τρεις διαστάσεις του χώρου, ορίζουν ένα σημείο αναφοράς. Ας ονομάσουμε αυτό το σύστημα αναφοράς S .

Στη θεωρία της σχετικότητας συχνά θέλουμε να υπολογίσουμε τη θέση ενός σημείο από διαφορετικό σύστημα αναφοράς.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα δεύτερο σύστημα αναφοράς S' , του οποίου οι χωρικοί άξονες και το ρολόι συμπίπτουν ακριβώς με εκείνου του S σε χρόνο μηδέν, αλλά κινείται με σταθερή ταχύτητα v σε σχέση με το S κατά μήκος του άξονα x.

Δεδομένου ότι δεν υπάρχει απόλυτο σύστημα αναφοράς στη θεωρία της σχετικότητας, η έννοια της «κίνησης» δεν ορίζεται αυστηρά, καθώς τα πάντα κινούνται σε σχέση με κάποιο άλλο σύστημα αναφοράς. Αντ' αυτού, κάθε δύο συστήματα που κινούνται με την ίδια ταχύτητα προς την ίδια κατεύθυνση μπορούμε να πούμε ότι συνταξιδεύουν. Ως εκ τούτου, τα S και S' δεν συνταξιδεύουν.

Έστω ένα γεγονός με χωροχρονικές συντεταγμένες (t,x,y,z) στο σύστημα S και (t′,x′,y′,z′) στο S′. Τότε οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ ορίζουν ότι αυτές οι συντεταγμένες σχετίζονται ως εξής:

${\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}$

όπου

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

ο παράγοντας Λόρεντζ, c η ταχύτητα του φωτός στο κενό και v η ταχύτητα του S' παράλληλα προς τον άξονα x.

Μόνο οι συντεταγμένες x και t μετασχηματίζονται ενώ οι y και z δεν επηρεάζονται. Αυτοί οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ αποτελούν μια μονοπαραμετρική ομάδα γραμμικού μετασχηματισμού, που ονομάζεται ταχύτητα.

Δεν υπάρχει κάτι το ιδιαίτερο για τον άξονα x, ο μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στον y ή στον z, ή στην πραγματικότητα σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, η οποία γίνεται παράλληλα και κάθετα στην κίνηση (που συμπεριλαμβάνεται στον παράγοντα γ).

Μια αναλλοίωτη ποσότητα κάτω από τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ είναι γνωστή ως ένα βαθμωτό Λόρεντζ (Lorentz scalar).

Ο μετασχηματισμός Λόρεντζ και ο αντίστροφός του ως διαφορά συντεταγμένων, όπου ένα γεγονός έχει συντεταγμένες (x₁, t₁) και (x′₁, t′₁), κάποιο άλλο γεγονός (x₂, t₂) και (x′₂, t′₂), και οι διαφορές τους ορίζονται ως

${\begin{array}{ll}\Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,&\Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\\\Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ ,&\Delta t=t_{2}-t_{1}\ ,\\\end{array}}$

παίρνουμε

${\begin{array}{ll}\Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,&\Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\\\Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-{\dfrac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\ ,&\Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+{\dfrac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\ .\\\end{array}}$

Αυτά τα αποτελέσματα δεν εμφανίζονται απλά, αλλά είναι ρητά συνδεδεμένα με τον τρόπο που μετράμε τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των γεγονότων που λαμβάνουν μέρος σε δεδομένο σύστημα συντεταγμένων (και ονομάζονται συν-τοπικά γεγονότα). Αυτά τα χρονικά διαστήματα είναι διαφορετικά σε κάποιο άλλο σύστημα το οποίο κινείται σχετικά με το πρώτο, εκτός αν αυτά τα γεγονότα είναι ταυτόχρονα. Ομοίως, αυτά τα αποτελέσματα δεν είναι συν-τοπικά, αλλά έχουν μεταξύ τους μια απόσταση και δεν πραγματοποιούνται στην ίδια χωρική απόσταση όταν τα βλέπουμε από ένα κινούμενο σύστημα συντεταγμένων. Ωστόσο, το χωροχρονικό διάστημα θα είναι το ίδιο για όλους τους παρατηρητές. Η υποβόσκουσα πραγματικότητα παραμένει η ίδια και μόνο η προοπτική μας αλλάζει.

Συνέπειες που προέρχονται από τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ

Οι συνέπειες της ειδικής σχετικότητας προέρχονται από τις εξισώσεις των μετασχηματισμών Λόρεντζ. Αυτοί οι μετασχηματισμοί και άρα ή ειδική θεωρία της σχετικότητας, οδηγούν σε διαφορετικές φυσικές προβλέψεις από εκείνες της Νευτώνειας μηχανικής, όταν οι σχετικές ταχύτητες γίνουν συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός. Η ταχύτητα του φωτός είναι τόσο μεγάλη από οτιδήποτε οι άνθρωποι μπορούν να συναντήσουν, που κάποια από τα αποτελέσματα που έχουν προβλεφθεί φαίνεται να είναι αντικρουόμενα.

Σχετικότητα του Χρόνου

Το γεγονός Β είναι ταυτόχρονο με το Α στο πράσινο σύστημα αναφοράς, αλλά το Β συμβαίνει πριν από το Α στο μπλε σύστημα, και μετά από Α στο κόκκινο σύστημα.

Δύο γεγονότα που συμβαίνουν σε δύο διαφορετικά σημεία και συμβαίνουν ταυτόχρονα στο σύστημα αναφοράς ενός αδρανειακού παρατηρητή, μπορούν να είναι μη-ταυτόχρονα στο σύστημα αναφοράς κάποιου άλλου αδρανειακού παρατηρητή (απουσία απόλυτου ταυτόχρονου).

Από την πρώτη εξίσωση του μετασχηματισμού Λόρεντζ, των διαφορών συντεταγμένων

$\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)$

είναι σαφές ότι δύο γεγονότα που είναι ταυτόχρονα στο σύστημα S (ικανοποιούν την Δt = 0), δεν είναι κατ' ανάγκην ταυτόχρονα σε ένα άλλο αδρανειακό σύστημα S' (που ικανοποιούν την Δt' = 0).

Εάν αυτά τα γεγονότα είναι επιπλέον και συν-τοπικά στο ίδιο σύστημα S (και ικανοποιούν την Δx = 0), τότε θα είναι ταυτόχρονα και συν-τοπικά και σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακό σύστημα S'.

Σχετικότητα της Θέσης

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δύο γεγονότα που για έναν παρατηρητή συμβαίνουν στο ίδιο σημείο σε διαφορετικό χρόνο, για έναν άλλον παρατηρητή που κινείται με κάποια σχετική ταχύτητα ως προς στον πρώτο, τα γεγονότα δεν συμβαίνουν στην ίδια θέση. Η σχέση μετασχηματισμού θα είναι:

$\Delta {x}'=\gamma \left(\Delta {x}-v\,\Delta {t}\right)$

όπου επίσης φαίνεται πως αν είναι $\Delta {x}=0$, για τον κινούμενο παρατηρητή θα είναι $\Delta {x}'\neq 0$. Αυτή η συνέπεια μας είναι ήδη γνωστή από την κλασσική σχετικότητα της νευτώνειας μηχανικής.

Για να δούμε σωστά την εφαρμογή της Ειδικής Σχετικότητας σε πραγματικά προβλήματα θα πρέπει να ξεχάσουμε τα παραμετρικά διαγράμματα ${\vec {r}}(t)$ και να σκεφτόμαστε με όρους ενός τετραδιάστατου διανυσματικού χώρου όπου όλες οι πληροφορίες είναι ταυτόχρονα γνωστές, αφού εκεί όλα είναι μήκη διανυσμάτων. Στον τετραδιάστατο χωρόχρονο δεν υπάρχει ροή χρόνου, με την έννοια που έχουμε συνηθίσει στην κλασσική μηχανική.

Σύνθεση των ταχυτήτων

Οι ταχύτητες δεν προστίθενται απλά. Εάν ο παρατηρητής στο S μετρά ένα αντικείμενο που κινείται κατά μήκος του άξονα x με ταχύτητα u, τότε ο παρατηρητής στο σύστημα S ', ένα πλαίσιο αναφοράς που κινούνται με ταχύτητα v στην κατεύθυνση x σε σχέση με την S, θα μετρήσει το αντικείμενο που κινείται με ταχύτητα u ' όπου (από τους μετασχηματισμούς Lorentz παραπάνω):

$u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma \ (dx-vdt)}{\gamma \ (dt-vdx/c^{2})}}={\frac {(dx/dt)-v}{1-(v/c^{2})(dx/dt)}}={\frac {u-v}{1-uv/c^{2}}}\ .$

Το άλλο σύστημα S θα μετρήσει:

$u={\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma \ (dx'+vdt')}{\gamma \ (dt'+vdx'/c^{2})}}={\frac {(dx'/dt')+v}{1+(v/c^{2})(dx'/dt')}}={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}\ .$

Παρατηρήστε ότι αν το αντικείμενο κινούνταν με την ταχύτητα του φωτός στο σύστημα S (δηλ. u = C), τότε αυτό θα κινούνταν επίσης με την ταχύτητα του φωτός στο σύστημα S '. Επίσης, αν και οι δύο υ και ν είναι μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός, θα ανακτήσει τη διαισθητική Γαλιλαίου μετασχηματισμό των ταχυτήτων

$u'\approx u-v\ .$

Το σύνηθες παράδειγμα που δίνεται είναι ότι από ένα τρένο (σύστημα S ' παραπάνω) που ταξιδεύουν προς την ανατολή με ταχύτητα v σε σχέση με τα κομμάτια (σύστημα S). Ένα παιδί μέσα στο τρένο ρίχνει ένα μπέιζμπολ ανατολικά με ταχύτητα u σε σχέση με το τρένο. Στην κλασική φυσική, ένας παρατηρητής σε ηρεμία για τις πίστες θα μετρήσει την ταχύτητα του μπέιζμπολ (ανατολικά), όπως u = u′ + v ενώ στην ειδική θεωρία της σχετικότητας αυτό δεν ισχύει πλέον, αλλά η ταχύτητα του μπέιζμπολ (ανατολικά) δίνεται από τη δεύτερη εξίσωση: u = (u '+ ν) / (1 + u'v / c2). Και πάλι, δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο σχετικά με τα x ή τις ανατολικά κατευθύνσεις. Αυτός ο φορμαλισμός εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε κατεύθυνση από την εξέταση παράλληλη και κάθετη κίνηση προς την κατεύθυνση της σχετικής ταχύτητα V, βλέπε κύριο άρθρο για λεπτομέρειες.

Η πρόσθεση συγγραμμικών ταχυτήτων του Αϊνστάιν είναι σύμφωνη με το πείραμα του Fizeau που καθόρισαν την ταχύτητα του φωτός σε ένα υγρό που κινείται παράλληλα με το φως, αλλά κανένα πείραμα δεν έχει δοκιμάσει ποτέ τον τύπο για τη γενική περίπτωση των μη παράλληλων ταχύτητες.

Διαστολή του χρόνου 

Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων δεν είναι αμετάβλητο από έναν παρατηρητή στον άλλο, αλλά εξαρτάται από τις σχετικές ταχύτητες των συστημάτων αναφοράς των παρατηρητών (π.χ., το παράδοξο των διδύμων που αφορά ένα δίδυμο που ταξιδεύει με ένα διαστημόπλοιο κοντά στην ταχύτητα του φωτός και επιστρέφει αργότερα για να ανακαλύψει ότι ο δίδυμος αδελφός του έχει γεράσει πολύ περισσότερο).

Αυτό δείχνει ότι ο χρόνος (Δt') μεταξύ των δύο χτύπων, όπως φαίνεται στο σύστημα το οποίο το ρολόι κινείται (S′), είναι μεγαλύτερος από τον χρόνο (Δt) μεταξύ των δύο αυτών χτύπων, όπως μετράται από το ρολόι του ακίνητου συστήματος (S). Η διαστολή του χρόνου εξηγεί μια σειρά απο φυσικά φαινόμενα, όπως τη διάσπαση των μιονίων της κοσμικής ακτινοβολίας στην ατμόσφαιρα της γης.

Συστολή του μήκους 

Οι διαστάσεις (π.χ. μήκος) ενός αντικειμένου, όπως μετράται από έναν παρατηρητή μπορεί να είναι μικρότερη από ό, τι τα αποτελέσματα των μετρήσεων του ίδιου αντικειμένου που υποβάλλονται από άλλο παρατηρητή (π.χ. το παράδοξο της σκάλας που ταξιδεύει με ταχύτητα κοντά στην ταχύτητα του φωτός και μπορεί να χωρέσει μέσα σε ένα μικρότερο γκαράζ).

«Συστολή» και «διαστολή»

Η ισοδυναμία των αδρανειακών συστημάτων σημαίνει πως ό,τι βλέπει ο ακίνητος παρατηρητής για κάτι που συμβαίνει στο «κινούμενο» σύστημα θα πρέπει να είναι το ίδιο με αυτό που βλέπει ο παρατηρητής στο κινούμενο σύστημα, όταν στο «ακίνητο» συμβαίνει ακριβώς το ίδιο.

Επομένως, αν και οι δύο παρατηρητές έχουν μία ράβδο που την μετρούν ο καθένας στο δικό του σύστημα να έχει μήκος $l_{0}$, τότε ο καθένας θα βλέπει την ράβδο του άλλου μικρότερη κατά την ίδια ποσότητα $\Delta {l}$! Και, εφόσον οι μετρήσεις χρόνου γίνονται με υπολογισμό του μήκους που διανύεται από φωτεινούς παλμούς της ίδιας ταχύτητας $c$, θα έχουμε αντίστοιχες «συστολές» και όχι «διαστολές» στα χρονικά διαστήματα.

Ο μόνος οδηγός που έχουμε στην Ειδική Σχετικότητα είναι ο μετασχηματισμός Λόρεντζ. Αν ο Α βλέπει τον Β να κινείται με ταχύτητα $v$, τότε ο Β βλέπει τον Α να κινείται με ταχύτητα $-v$, οπότε η αλλαγή του προσήμου κάνει τις εξισώσεις μετασχηματισμών ταυτόσημες. Οι όροι «συστολή μήκους» και «διαστολή χρόνου» προέρχονται από τα συγκεκριμένα παραδείγματα με τα τρενάκια τα οποία χρησιμοποιήθηκαν αρχικά για την επίδειξη των συνεπειών της Ειδικής Σχετικότητας.

Για να ξεπεράσουμε κάθε «παράδοξο», χρειάζεται ν' αναρωτηθούμε για το τι ακριβώς σημαίνει μέτρηση στην Φυσική. Η μέτρηση ενός μήκους ως $l$ σημαίνει πως έχουμε καθορίσει τις συντεταγμένες αρχής και τέλους ταυτόχρονα. Επομένως, όποιος ισχυρίζεται πως μέτρησε ένα μήκος ως προς το δικό του σύστημα αναφοράς, οφείλει να θέσει $\Delta {t}=0$ για το δικό του σύστημα αναφοράς.

Επομένως, το ορθό σχετικιστικό ερώτημα είναι: τι συντεταγμένες $({\vec {r}}',ct')$ βλέπει ο κινούμενος παρατηρητής για δύο συμβάντα τα οποία για τον «ακίνητο» παρατηρητή έχουν συντεταγμένες $({\vec {r_{1}}},ct_{1})$ και $({\vec {r_{2}}},ct_{2})$;

Άλλες συνέπειες

Γεωμετρική αναπαράσταση

Έχουμε μάθει να παριστάνουμε την θέση ενός σώματος ως συνάρτηση του χρόνου σε παραμετρικά διαγράμματα της μορφής $x(t)-t$. Τέτοια διαγράμματα δεν αποτελούν διανυσματικούς χώρους. Το ευκλείδειο μήκος $ds^{2}=dx^{2}+dt^{2}$ δεν ορίζεται, αφού οι όροι έχουν διαφορετικές μονάδες, ούτε έχει και κανέναν λόγο να είναι το ίδιο μεταξύ αδρανειακών συστημάτων αναφοράς.

Κατασκευάζοντας ένα διάγραμμα με άξονες $x,\,jct$, όπου $j^{2}=-1$, δημιουργούμε έναν διανυσματικό χώρο δύο διαστάσεων. Αν επιλέξουμε ίδιο μήκος για τα διανύσματα βάσης, τότε η «γραμμή ζωής» ενός φωτεινού παλμού σ' αυτόν τον διανυσματικό χώρο θα περιγράφεται από την διχοτόμο της γωνίας, για την οποία είναι:

$\tan {\theta }={\frac {jc\,t}{jct}}=1$

Τώρα χρειάζεται να μάθουμε να σκεφτόμαστε διαφορετικά. Δύο γεγονότα δεν συμβαίνουν σε δύο σημεία του χώρου και σε δύο διαφορετικές στιγμές. Δύο γεγονότα είναι συμβάντα του χωρόχρονου με συγκεκριμένες τετράδες συντεταγμένων.

Προκειμένου να είναι η γραμμή ζωής ενός ηλεκτρομαγνητικού παλμού η ίδια ευθεία για όλα τα συστήματα αναφοράς, αρκεί να στρέψουμε και τους δύο άξονες. Αν είχαμε ορθή γωνία για το ακίνητο σύστημα, στρέφουμε τον άξονα του χρόνου κατά γωνία $\phi$ και τον άξονα του χώρου κατά $-\phi$, με $\tan {\phi }=v/c$.

Από αυτή τη συμμετρία προκύπτει ένας υπερβολικός χώρος όπου όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς βλέπουν την ίδια γραμμή ζωής για έναν φωτεινό παλμό. Η ευκλείδεια απόσταση σ' αυτόν τον χώρο είναι:

$ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}$

και παραμένει αναλλοίωτη για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.

Η σχέση του ευκλείδειου μήκους είναι η εξίσωση της υπερβολής. Περνάμε λοιπόν σε υπερβολική γεωμετρία όπου όλοι οι παρατηρητές δεν βλέπουν τον ίδιο τριγωνομετρικό κύκλο αλλά την ίδια μοναδιαία υπερβολή. Επομένως, σ' αυτή τη γεωμετρία η κατάλληλη τριγωνομετρική ταυτότητα δεν είναι αυτή που γνωρίζουμε αλλά η υπερβολική:

$\cosh ^{2}{\theta }-\sinh ^{2}{\theta }=1$

Πρόκειται για την γεωμετρία που χρησιμοποιείται στα διαγράμματα Minkowski.

Σχετικιστική Ορμή

Μπορούμε να φτιάξουμε ό,τι μετασχηματισμούς θέλουμε με διανυσματικούς χώρους αλλά για να κάνουμε μηχανική χρειαζόμαστε έναν νόμο για την κίνηση, δηλαδή τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα. Και για να τον χρησιμοποιήσουμε πρέπει πρώτα να ορίσουμε την ίδια την ορμή. Αν επιχειρήσουμε να εξετάσουμε την διατήρηση της ορμής με τρεις διαστάσεις για ελεύθερο σώμα μεταξύ αδρανειακών συστημάτων αναφοράς υπό τον μετασχηματισμό Λόρεντζ, θα δούμε πως δεν ισχύει.

Όμως, για να κάνουμε αξιοπρεπώς σύγκριση διανυσμάτων μεταξύ αδρανειακών συστημάτων αναφοράς με τέσσερις διαστάσεις, χρειαζόμαστε όχι τρεις αλλά τέσσερις συνιστώσες για την ορμή. Αποδίδοντας μια ορμή με ταχύτητα $jc$ στην τέταρτη διάσταση, η αρχή της διατήρησης της ορμής, όπως την γνωρίζουμε στην κλασσική μηχανική, ισοδυναμεί με το αναλλοίωτο της τετραδιάστατης ορμής στον χωρόχρονο.

Έστω ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα $\mathbf {v}$ ως προς το ακίνητο σύστημα του εργαστηρίου. Η ορμή του θα είναι $\mathbf {p} =m(jc,\mathbf {v} )$ ενώ για το αδρανειακό σύστημα που κινείται μαζί με το σώμα θα είναι $\mathbf {p} '=m'(jc,0)$. Αν η ορμή διατηρείται στον χωρόχρονο, θα πρέπει τα μήκη αυτών των διανυσμάτων να είναι ίσα. Παίρνοντας το τετράγωνο των μέτρων των διανυσμάτων ως το εσωτερικό γινόμενο επί τον εαυτό τους έχουμε:

$-m^{2}c^{2}+m^{2}v^{2}=-m'^{2}c^{2}\Rightarrow m'=m{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow m={\frac {m'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Αποδεχόμενοι αυτή την μεταβολή της μάζας, ανάλογα με το αδρανειακό σύστημα ως προς το οποίο αναφέρεται, η τετραδιάστατη ορμή διατηρείται υπό τον μετασχηματισμό Λόρεντζ. Ορίζουμε λοιπόν να είναι:

$p_{i}={\frac {mv_{i}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\,i=x,y,z$

$p_{ct}={\frac {mc}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

όπου $m$ η μάζα ηρεμίας. Το αναλλοίωτο της ορμής υπό τον παραπάνω ορισμό μας, παίρνοντας πάλι τα τετράγωνα των μέτρων, μας δίνει την πασίγνωστη εξίσωση που χαρακτηρίζει την Ειδική Σχετικότητα:

$E^{2}={\frac {m^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

Στην Ειδική Σχετικότητα, η διατήρηση της μάζας, της ορμής και τις ενέργειας, όπως τις γνωρίσαμε στην κλασσική μηχανική, ενοποιούνται σε μία αρχή, την διατήρηση της τετραδιάστατης ορμής.

Προφανώς, ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα μας δείχνει πως η δύναμη η οποία επιταχύνει ένα σώμα, φαίνεται διαφορετική μεταξύ αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Όμως, και εδώ θα πρέπει να γενικεύσουμε την δύναμη ως τετραδιάστατο διάνυσμα. Οπότε, η τετραδιάστατη δύναμη:

$\mathbf {F} =\left({\frac {dE}{c\,dt}},\,{\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)$

είναι η δύναμη που φαίνεται ίδια για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.

Η ειδική σχετικότητα σε σχέση με τη γενική

Η ειδική σχετικότητα συμπληρώθηκε αργότερα από τη γενική σχετικότητα, διατυπωμένη επίσης από τον Αϊνστάιν τον Νοέμβριο του 1915, που μελετούσε τη βαρύτητα με τον σχετικιστικό φορμαλισμό. Με τη διατύπωση της γενικής σχετικότητας, η Νευτώνεια βαρύτητα έγινε πλέον υποπερίπτωση της σχετικιστικής βαρύτητας, και η κλασική Φυσική ολοκληρώθηκε ως εννοιολογικό πλαίσιο.

Η αιτιώδης συνάφεια και η απαγόρευση της κίνησης γρηγορότερα από το φως

Διάγραμμα 2. Κώνος φωτός

Στο διάγραμμα 2 το διάστημα ΑΒ είναι «χρονοειδές», δηλαδή υπάρχει ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο οποίο τα γεγονότα Α και Β συμβαίνουν στην ίδια θέση στο χώρο, χωρίζονται μόνο από το ότι συμβαίνουν σε διαφορετικούς χρόνους. Αν το Α προηγείται του Β σε ένα σύστημα αναφοράς, τότε το Α προηγείται του Β σε όλα τα αδρανειακά συστήματα. Επειδή είναι θεωρητικά δυνατόν να ταξιδέψουμε από το Α στο Β, μπορεί να υπάρχει αιτιώδης σχέση μεταξύ αυτών των γεγονότων, όπου A η αιτία και Β το αποτέλεσμα.

Το διάστημα AC στο διάγραμμα είναι «χωροειδές», δηλαδή υπάρχει ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο οποίο τα γεγονότα Α και C συμβαίνουν ταυτόχρονα, χωρίζονται μόνο στο χώρο. Υπάρχουν επίσης συστήματα αναφοράς στα οποία το Α προηγείται από το C (όπως φαίνεται) και άλλα στα οποία προηγείται το C του A. Αν ήταν δυνατόν να υπάρχει μια σχέση αιτίας-αποτελέσματος μεταξύ των γεγονότων Α και C, τότε προκύπτουν παράδοξα αιτιότητας. Για παράδειγμα, αν Α ήταν η αιτία, και C το αποτέλεσμα, τότε θα υπήρχαν συστήματα αναφοράς στα οποία το αποτέλεσμα θα προηγούνταν της αιτίας.

Γεωμετρία του χωροχρόνου

Σύγκριση μεταξύ των επιπέδων στον ευκλείδειο χώρο και χώρο Minkowski

Σύγκριση μεταξύ της ορθογωνιότητας και της περιστροφής του συστήματος συντεταγμένων αριστερά: Ευκλείδειος χώρος μέσω της κυκλικής γωνίας φ, δεξιά: Ο χωρόχρονος Minkowski μέσω της υπερβολικής γωνίας φ (οι κόκκινες γραμμές καλούνται γ και συμβολίζουν τα worldlines ενός φωτεινού σήματος, ένα διάνυσμα είναι ορθογώνιο προς τον εαυτό του αν βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή).

Η ειδική σχετικότητα χρησιμοποιεί έναν επίπεδο 4-διάστατο χώρο Minkowski - ένα παράδειγμα χωροχρόνου. Ο χωροχρόνος Minkowski φαίνεται να είναι πολύ παρόμοιος με τον κανονικό τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο , αλλά υπάρχει μια σημαντική διαφορά σε σχέση με το χρόνο.

Σε 3D χώρο, η διαφορά της απόστασης (στοιχείο γραμμής) ds ορίζεται από

$ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},$

όπου dX = (dX₀, dX₁, dX₂, dX₃) είναι οι διαφορές των τριών χωρικών διαστάσεων. Στη Minkowski γεωμετρία, υπάρχει μια επιπλέον διάσταση με συντεταγμένες X ⁰ που προέρχεται από το χρόνο, έτσι ώστε η διαφορική απόσταση να ικανοποιεί την

$ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},$

όπου dX = (dX₀, dX₁, dX₂, dX₃) είναι οι διαφορές από τις τέσσερις διαστάσεις του χωροχρόνου. Αυτό υποδηλώνει μια βαθιά θεωρητική γνώση: η ειδική θεωρία της σχετικότητας είναι απλά μια περιστροφική συμμετρία του χωροχρόνου μας, ανάλογη με την περιστροφική συμμετρία του Ευκλείδειου χώρου (βλ. εικόνα δεξιά). ^[41] Ακριβώς όπως στον Ευκλείδειο χώρο χρησιμοποιούμε ένα Ευκλείδειο μετρικό , έτσι ο χωρόχρονος χρησιμοποιεί μια μετρική Minkowski. Βασικά, η ειδική σχετικότητα μπορεί να δηλωθεί ως αναλλοίωτη σε σχέση με κάθε χωροχρονικό διάστημα (δηλαδή η απόσταση 4D μεταξύ δύο εκδηλώσεων), όταν παρατηρείται από κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Όλες οι εξισώσεις και τα αποτελέσματα της ειδικής σχετικότητας μπορεί να προέρχονται από αυτή την περιστροφική συμμετρία (η ομάδα Poincaré) του Minkowski χωροχρόνου.

Η πραγματική μορφή ds παραπάνω, εξαρτάται από τη μετρική και τις επιλογές για το X ⁰ συντεταγμένων. Για να μοιάζει η συντεταγμένη του χρόνου με τις συντεταγμένες χώρου, μπορεί να αντιμετωπιστεί ως φανταστικό : X ₀ = ict (αυτό ονομάζεται περιστροφή Wick ). Σύμφωνα με τους Misner, Thorne και Wheeler (1971, § 2.3), τελικά η βαθύτερη κατανόηση τόσο της ειδικής και γενικής σχετικότητας θα προέλθει από τη μελέτη της μετρικής Minkowski (περιγράφεται παρακάτω) και να πάρετε το Χ ⁰ = ct, αντί για μια «συγκεκαλυμμένη» ευκλείδεια μετρική χρήση των ict ως χρόνου συντεταγμένων.

Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν το X ⁰ = t, με παράγοντες του γ αλλού για να αντισταθμίσουν... Για παράδειγμα, οι χωρικές συντεταγμένες χωρίζονται από το c ή από παράγοντες του c ^{± 2} που περιλαμβάνονται στο μετρικό τανυστή. ^[42] Αυτές οι πολυάριθμες συμβάσεις μπορούν να αντικατασταθούν με τη χρήση των φυσικών μονάδων όπου c = 1. Τότε ο χώρος και ο χρόνος έχουν ισοδύναμες μονάδες, και δεν εμφανίζεται πουθενά κανένας παράγοντας της γ.

Τρισδιάστατος χωροχρόνος

Μηδενικός σφαιρικός χώρος

Αν μειώσουμε τις χωρικές διαστάσεις σε 2, έτσι ώστε να μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη φυσική σε έναν τρισδιάστατο χώρο

$ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},$

βλέπουμε ότι οι μηδενικές γαιωδετικές βρίσκονται κατά μήκος ενός διπλού κώνου (βλ. εικόνα δεξιά) που ορίζεται από την εξίσωση

$ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}$

ή πιο απλά

$dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},$

που είναι η εξίσωση ενός κύκλου ακτίνας c dt.

Τετραδιάστατος χωροχρόνος

Αν επεκτείνουμε αυτό σε τρεις χωρικές διαστάσεις, οι μηδενικοί γεωδαισικοί είναι ο 4-διαστάσεων κώνος:

$ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}$

έτσι

$dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.$

Αυτός ο μηδενικός διπλός-κώνος αντιπροσωπεύει την «οπτική επαφή» ενός σημείου στο χώρο. Αυτό συμβαίνει, όταν κοιτάξουμε τα αστέρια και πούμε "Το φως από αυτό το αστέρι που με φωτίζει είναι Χ ετών", ψάχνουμε κάτω από αυτή τη γραμμή της όρασης: ένα μηδενικό γεωδαιτικό. Ψάχνουμε μια εκδήλωση σε απόσταση μακρινή και ένα χρόνο d / c στο παρελθόν. Για το λόγο αυτό ο μηδενικός διπλός κώνος είναι επίσης γνωστός ως «κώνος φωτός». (Το σημείο κάτω αριστερά από την παρακάτω εικόνα αναπαριστά το αστέρι, η προέλευση αντιπροσωπεύει τον παρατηρητή, και η γραμμή αναπαριστά την null γεωδαιτικό «οπτική επαφή».)

Ο κώνος της - t περιοχής είναι η πληροφορία ότι το σημείο «λαμβάνει», ενώ ο κώνος στην ενότητα t + είναι η πληροφορία ότι το σημείο «στέλνει».

Η γεωμετρία του χώρου Minkowski μπορεί να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας διαγράμματα Minkowski , τα οποία είναι χρήσιμα στην κατανόηση πολλών νοητικών πειραμάτων στην ειδική σχετικότητα.

Σε τετραδιάστατο χωροχρόνο, η έννοια του κέντρου μάζας γίνεται πιο περίπλοκη, δείτε σχετικιστικό κέντρο μάζας.