Wronski-determinant

Indenfor matematikken anvendes Wronski-determinant (forkortet: W) til at undersøge differentialligninger, især til at undersøge andenordens differentialligninger. Denne type determinant blev introduceret af den polske matematiker Józef Maria Hoëné-Wroński (1778-1853). Wronski-determinant blev i 1882 navngivet af den skotske matematiker Thomas Muir.

Wronski-determinanten kan anvendes til at afgøre, om et antal løsninger til en differentialligning eller et differentialligningssystem er lineært uafhængige.

Wronski-determinanten kan udvides til en Wronski-matrix.

Wronski-determinant af to funktioner

Wronski-determinant af to differentiable funktioner $f$ og $g$ er:

$W(f,g)={\begin{vmatrix}f&g\\f'&g'\end{vmatrix}}=f\cdot g'-g\cdot f'$

Man skriver de to funktioner ved siden af hinanden;

under hver funktion skriver man hver funktions differentialkvotient.

Så multiplicerer man diagonalt og skriver minus mellem de to produkter.

En Wronski-determinant af de to funktioner $f_{1}$ og $f_{2}$

$W(f_{1},f_{2})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)\end{vmatrix}}=0$

kan anvendes til at bestemme den fuldstændige løsning til den homogene lineære anden ordens differentialligning:

$f''(x)+a\cdot f'(x)+b\cdot f(x)=0$

Wronski-determinant af flere funktioner

En Wronski-determinant kan rumme $n$ antal funktioner:

$W(f_{1},\dots ,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\dots &f_{n}(t)\\f_{1}^{(1)}(t)&f_{2}^{(1)}(t)&\dots &f_{n}^{(1)}(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\dots &f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}},\qquad t\in I,$

Se også

• Determinant
• Matrix
• Differentialligning

Eksterne henvisninger

Bøger

• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik højniveau 2: integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5
• H. Heuser (1995): Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, ISBN 3-519-22227-2

Homepage

• Eric W. Weisstein: Wronskian. In: MathWorld (English).

Referencer

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.