Jævn cirkelbevægelse

Jævn cirkelbevægelse er en bevægelse med konstant vinkelhastighed i konstant afstand fra et omdrejningspunkt. Jorden udfører med god tilnærmelse en jævn cirkelbevægelse omkring Solen.

Kinematisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Hvis man indlægger et sædvanligt koordinatsystem med origo i centrum af den jævne cirkelbevægelse, er positionsvektoren som funktion af tiden givet ved

${\vec {r}}(t)={x(t) \choose y(t)}=r{\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}$

hvor $r$ er radius i cirkelbevægelsen, $\omega$ er vinkelhastigheden, og $t$ er tiden. Det følger heraf at objektet gennemfører et omløb i tiden $\tau$:

$\tau ={\frac {2\pi }{\omega }}$

Hastigheden i den jævne cirkelbevægelse findes ved differentiation mht. tiden:

${\vec {v}}(t)={v_{x}(t) \choose v_{y}(t)}={\vec {r}}'(t)=\omega r{-\sin(\omega t) \choose \cos(\omega t)}$

Det fremgår heraf, at hastigheden står vinkelret på positionsvektoren, og at farten er givet ved:

$v=\omega r$

(1)

Accelerationen i den jævne cirkelbevægelse findes atter ved differentiation mht. tiden:

${\vec {a}}(t)={a_{x}(t) \choose a_{y}(t)}={\vec {v}}'(t)={\vec {r}}''(t)=-\omega ^{2}r{\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}$

Det fremgår heraf, at accelerationen er parallel med positionsvektoren og rettet ind mod centrum af bevægelsen. Der ses endvidere, at accelerationens størrelse er:

$a=\omega ^{2}r$

Jf. ligning 1 er det det samme som:

$a={\frac {v^{2}}{r}}$

(2)

Dynamisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Pga. lign. 1 er impulsens størrelse givet ved:

$p=mv=m\omega r$

hvor $m$ er massen af det objekt som udfører den jævne cirkelbevægelse.

Af Newtons anden lov og lign. 2 følger, at størrelsen på kraften i den jævne cirkelbevægelse er givet ved

$F=ma=m\omega ^{2}r$

Ligesom accelerationsvektoren ændrer kraftvektoren bestandigt retning. Den peger ind mod centrum og kaldes derfor centripetalkraften.

Kraftmomentet er nul i en jævn cirkelbevægelse. Det følger af, at kraftvektoren er parallel med positionsvektoren. Som konsekvens heraf er impulsmomentet bevaret. Størrelsen på impulsmomentet $L$ er konstant og lig med:

$L=rp=m\omega r^{2}$

Den kinetiske energi i en jævn cirkelbevægelse er givet ved:

$E_{\mathrm {kin} }={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{2}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}={\frac {L^{2}}{2I}}$

hvor $I=mr^{2}$ er inertimomentet.