Kontingenční tabulka

Kontingenční tabulka se ve statistice užívá k přehledné vizualizaci vzájemného vztahu dvou statistických znaků. V tabulkových procesorech (např. v Microsoft Excelu) je tak pojmenovaný konkrétní nástroj na zpracování dat – ten však nemusí vyhodnocovat dva znaky, může vyhodnocovat i jeden nebo více znaků.

Řádky kontingenční tabulky odpovídají možným hodnotám prvního znaku, sloupce pak možným hodnotám druhého znaku. V příslušné buňce kontingenční tabulky je pak zařazen počet případů, kdy zároveň měl první znak hodnotu odpovídající příslušnému řádku a druhý znak hodnotu odpovídající příslušnému sloupci. Například prvním znakem může být pohlaví člověka a druhým znakem měsíc jeho narození. Kontingenční tabulka o 2 řádcích (žena, muž) a 12 sloupcích (leden, únor,…, prosinec) pak popisuje počty výskytů všech kombinací pohlaví a měsíce v nějakém souboru sledovaných jedinců.

Je možné, aby jeden řádek či sloupec odpovídal více možným hodnotám znaku. To se použije v případě, kdy znak nabývá některých hodnot příliš zřídka, takže je vhodné spojit více možných hodnot.

Součty (mezisoučty) všech hodnot v každém řádku, resp. sloupci nesou informaci o počtu výskytů jevů, při nichž nabyl první (resp. druhý znak) příslušné hodnoty bez ohledu na hodnotu druhého (resp. prvního) znaku.

Kromě prostého popisu četností kombinací hodnot dvou znaků nabízí kontingenční tabulka možnost testovat, zda mezi oběma znaky existuje nějaký vztah. K tomu lze užít např. test dobré shody. Znaky užité k zobrazení v kontingenční tabulce pak musí představovat diskrétní hodnoty (je možné tedy využít kvalitativní, diskrétně kvantitativní či spojitě kvantitativní znaky, v posledním případě však pouze s rozdělením jednotlivých znaků do skupin – tzv. skupinové třídění).

Typ kontingenční tabulky

Typ kontingenční tabulky se určuje počtem řádků $r$ a sloupců $s$ jako $r\times s$ . Kontingenční tabulka typu $2\times 2$ se nazývá čtyřpolní tabulka a slouží ke srovnání dvou dichotomických znaků.

Příkladem kontingenční tabulky typu 2×2 může být následující smyšlený průzkum zastoupení leváků a praváků mezi ženami a muži.

	praváci	leváci	celkem
muži	43	9	52
ženy	44	4	48
celkem	87	13	100

Užití kontingenční tabulky

Kontingenční tabulky umožňují testování různých statistických hypotéz, mezi nejobvyklejší testované hypotézy pak patří:

hypotéza o nezávislosti znaků,
hypotéza o shodnosti struktury (homogenitě)
hypotéza o symetrii vztahu.

Statistické míry a testování

Test nezávislosti a homogenity

Nezávislost v kontingenční tabulce znamená, že se oba znaky navzájem neovlivňují v tom, jakých konkrétních hodnot nabývají. Homogenita kontingenční tabulky znamená, že očekávané četnosti jsou v políčcích každého řádku ve stejném vzájemném poměru bez ohledu na konkrétní volbu řádku.

Ve výše uvedeném příkladu tedy hypotéza nezávislosti znamená, že pohlaví nemá žádný vliv na pravorukost/levorukost. Hypotéza homogenity pak znamená, že rozložení pravorukosti a levorukosti je stejné u mužů i žen.

Obě hypotézy znamenají z hlediska pravděpodobnosti zcela totéž, takže se pro jejich ověření používá stejný test.

Klasický test nezávislosti nebo homogenity je založen na testu dobré shody, tedy porovnání očekávaných četností v jednotlivých políčcích tabulky za předpokladu, že hodnoty obou sledovaných znaků na sobě nezávisí, a skutečných četností.

Označme

$n_{ij}$ četnost v řádku i a sloupci j (počet pokusů, při nichž má první znak hodnotu odpovídající řádku i a druhý znak hodnotu odpovídající sloupci j)
$R_{i}$ součet všech četností v řádku i (počet pokusů, při nichž má první znak hodnotu odpovídající řádku i bez ohledu na druhý znak)
$S_{j}$ součet všech četností ve sloupci j (počet pokusů, při nichž má druhý znak hodnotu také odpovídající sloupci j bez ohledu na první znak)
$N$ součet četností v celé tabulce (počet všech pokusů)

Potom za platnosti hypotézy nezávislosti (resp. homogenity) je očekávaná četnost v řádku i a sloupci j rovna:

$m_{ij}={\frac {R_{i}S_{j}}{N}}$

a testování hypotézy je založeno na hodnotě testové statistiky

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{s}{\frac {(n_{ij}-m_{ij})^{2}}{m_{ij}}}$

Pokud hypotéza nezávislosti (resp. homogenity) platí, má testová statistika přibližně rozdělení chí kvadrát o (r-1)(s-1) stupních volnosti. Hodnota testové statistiky se tedy porovná s kritickou hodnotou (kvantilem) příslušné hladiny významnosti.

Ve výše uvedeném příkladu je hodnota testové statistiky rovna 1,78 a kritická hodnota rozdělení $\chi ^{2}$ s jedním stupněm volnosti pro nejpoužívanější 5% hladiny významnosti je 3,84. Jelikož kritická hodnota není překročena, nelze hypotézu zamítnout a je tedy možné, že rozložení praváků a leváků v populaci nezávisí na pohlaví.

Pro použití testů založených na testu dobré shody (zde test nezávislosti nebo homogenity) je třeba, aby se v tabulce vyskytlo méně než 20 % políček, v nichž by očekávané četnosti byly menší než 5. V případě, že se tak stane, můžeme zvážit transformaci — sloučení některých méně obsazených kategorií (např. "ano" a "spíše ano"). Tímto testem posuzujeme celou tabulku.

Jiné testy v kontingenční tabulce

Statistika chí kvadrát nevypovídá nic o síle vztahu, pouze zamítá/nezamítá nulovou hypotézu o závislosti nebo homogenitě na dané hladině významnosti alfa. Pro zjištění síly vztahu používáme upravené koeficienty, případně testování založené na podílu šancí, eventuálně u ordinálních (tj. uspořádaných) veličin na pořadí. Odlišně testujeme nominální a ordinální veličiny.

Míry asociace nominálních veličin

Poměr šancí – anglicky odds ratio; ${\text{OR}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

výsledek pokusu	1. populace	2. populace	celkem
zdar	$a$	$b$	$a+b$
nezdar	$c$	$d$	$c+d$
celkem	$a+c$	$b+d$	$n$

Poměr počtu zdarů k počtu nezdarů je za jedněch podmínek ${\frac {a}{c}}$ a za druhých ${\frac {b}{d}}$ . Podíl těchto výrazů je roven ${\text{OR}}$ . Střední chyba přirozeného logaritmu poměru šancí $\log({\text{OR}})$ se dá vyjádřit jako ${\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}))={\sqrt {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{d}}}}$

Při dostatečně velkých četnostech je přibližný interval spolehlivosti $\left(\log({\text{OR}})\pm {\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}))\cdot z\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)$ , kde $\left({\frac {\alpha }{2}}\right)=1,96$ pro obvykle používanou 95% hladinu významnosti.

Test hypotézy o rovnosti šancí ${\text{OR}}$ a ${\text{OR}}_{2}$ : $z={\frac {\log({\text{OR}})-\log({\text{OR}}_{2})}{\sqrt {{\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}))^{2}+{\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}_{2}))^{2}}}}$

Tuto statistiku můžeme použít např. při testování fiktivní hypotézy souvislosti pohlaví a přijetí k zaměstnavatelům A a B.

zaměstnavatel A	muž	žena	celkem	B	muž	žena	celkem
přijat/a	18	12	30	*	19	5	24
nepřijat/a	40	59	99	*	18	19	37
celkem	58	71	129	*	37	24	59

Spočítáme ${\text{OR}}={\frac {18\cdot 59}{40\cdot 12}}=2{,}2125$ ; zjistíme přirozený logaritmus $\log({\text{OR}})=0{,}794$ ; spočítáme střední chybu ${\text{S.E.}}\approx 0{,}425$ ; pak 95% interval spolehlivosti pro populační protějšek $\log({\text{OR}})\in (0{,}794\pm 0{,}425\cdot 1{,}96)=(-0{,}039;1{,}627)$ , odlogaritmováním získáme 95% interval spolehlivosti pro podíl šancí ${\text{OR}}\in (0{,}96;5{,}1)$ . Stejně budeme postupovat pro zaměstnavatele B, kde získáme ${\text{OR}}\in (1{,}24;13{,}0)$ .

$\phi ={\sqrt {\frac {X^{2}}{n}}}$ měří na rozdíl od OR také sílu míry asociace, nachází se v intervalu (0; 1) pro 4-polní tabulku
Cramerovo V : $V={\sqrt {\frac {X^{2}}{n(m-1)}}}={\sqrt {\frac {\phi ^{2}}{(m-1)}}}$ kde $m$ je minimum z (počet řádků, počet sloupců). Lze jej získat úpravou koeficientu $\phi$ . Pro čtyřpolní tabulku (nebo obecně pro tabulku, která má jen dva řádky nebo jen dva sloupce) se oba koeficienty rovnají. Cramerovo V nabývá hodnoty mezi 0 (nezávislé) a 1 (úplná kontingence).
koeficient kontingence podle Pearsona – funguje podobně jako korelační koeficient $C(kor)={\frac {C}{C(max)}}$ Je založen na statistice chí kvadrát.

Míry asociace ordinálních veličin

Je důležité odlišit případy, kdy je ordinálního charakteru pouze jedna proměnná a kdy obě. V případech, kdy jsou obě sledované proměnné ordinálního charakteru, můžeme použít testování, založené na pořadí.

Wilcoxonův test
Mann-Whitney test
Kendallův test (též Kendallovo tau, $\tau$ ), založený na počtu konkordancí a diskordancí
Goodman-Kruskalův test (koeficient gama, $\gamma$ ) je variantou Kendallova testu

Pokud je ordinální jen jedna, pak lze použít

Kruskal-Wallisův test

Vícerozměrné kontingenční tabulky

Namísto dvou znaků lze sledovat obecně libovolné množství znaků. Kontingenční tabulka se pak tvoří pomocí stejného principu (v každém políčku je počet výskytů kombinací určitých hodnot jednotlivých znaků), avšak není již možné ji tak snadno znázornit. Ve vícerozměrné tabulce lze testovat mnohem víc typů závislostí mezi jednotlivými znaky, testování je však technicky mnohem komplikovanější než u dvojrozměrné tabulky.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Kontingenční tabulka na Wikimedia Commons

Literatura

Přehled statistických metod – zpracování dat: Jan Hendl; Praha 2004 Portál.
Biostatistika: Karel Zvára; Praha 2003 Karolinum.