Somma

In matematichi, a summazioni hè l'addizioni di una siquenza di numari di ogni natura. U risultatu hè a so somma o tutali. Oltri i numari, altri tipi di valori poni ancu essa addizziunati : funzioni, vettori, matrici, pulinomii è, di regula, elementi di ogni tipu d'ughjetti matematichi annantu à i quali un'uparazioni nutata "+" hè difinita.

I summazioni di seguiti infiniti sò chjamati serii. Implicheghjani u cuncettu di limita, è ùn sò micca cunsidarati in stu articulu.

A summazioni di una seguita esplicita hè dinutata com'è una succissioni d'addizioni. Par isempiu, a somma di [1, 2, 4, 2] hè nutata 1 + 2 + 4 + 2, è dà 9, veni à dì1 + 2 + 4 + 2 = 9. L'addizioni essendu assuciativa è cummutativa, i parintesi ùn sò micca nicissarii è u risultatu hè listessu qualvoglia fussi l'ordini di i vertici. A summazioni di una siquenza di un solu elementu dà stu elementu eddu stessu. A summazioni di una siquenza biota (una siquenza senza elementi), par cunvinzioni, dà 0.

Assà à spessu, l'elementi di una siquenza sò difiniti, par via di un mutivu rigulari, sicondu a so piazza in a siquenza. Pà i mutivi simplici, a summazioni di longhi siquenzi pò essa raprisintata rimpiazzendu a maiò parti di i vertici incù l'ellissi. Par indittu, a somma di i primi 100 numari naturali si pò scriva 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100. Osinnò, a somma hè indicata usendu a nutazioni Σ, induva ${\textstyle \sum }$ hè una lettara greca maiuscula ingrandata sigma. Par indittu, a somma di i n primi numari naturali pò essa nutata ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Par i longhi sommi è i sommi di lunghezza varievuli (difiniti incù l'ellissi o a nutazioni Σ), hè à spessu difficiuli di truvà i sprissioni chjusi pà u risultatu. Par isempiu

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$

bench'è tali furmuli ùn esistissini micca sempri, numarosi furmuli di summazioni sò stati scuparti, frà i quali uni pochi di i più currenti è di i più elementarii sò citati in a seguita di stu articulu.

Nutazioni

Nutazioni sigma maiuscula

A nutazioni matematica aprada un simbulu chì raprisenta di manera cumpatta a somma di numarosi termini simili : u simbulu di summazioni, ${\textstyle \sum }$, una forma ingrandata di a lettara greca maiuscula sigma. Hè difinitu com'è suvita:

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

Induva i hè l'indiziu di a summazioni ; a_i hè una varievuli incù un indici chì rapprisenta ogni termini di a somma ; m hè a limita infiriori di a summazioni, è n hè a limita supiriori di a summazioni. A minzioni "i = m" sottu à u simbulu di a somma significheghja ch'è l'indiziu i hè à a partenza uguali à m. L'indiziu, i, hè incrimintatu di unu par ogni termini successivu, arristendu si quandu i = n.

Quissa si leghji com'è "somma di a_i, da i = m à i = n".

Eccu un asempiu muscendu a summazioni di i quatrati :

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$

Di regula, bench'è qualsiasi varievuli possi essa apradata com'è indiziu di summazioni (à cundizioni ch'eddu ùn ci fussi micca ambiguità), uni pochi di i varievuli i più currenti cumprendini i lettari tali $i$, $j$, $k$, and $n$; quist'ultima hè ancu à spessu apradata pà a limita supiriori di una summazioni.

Di manera altirnativa, l'indiziu è i limiti di a summazioni sò calchì volta umissi di a difinizioni di a summazioni s'è u cuntestu hè abbastanza chjaru. Quissa s'appieca particularamenti quandu l'indiziu và da 1 à n. 1 par isempiu, si pò scriva ch'è :

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.$

Si vedini à spessu i generalisazioni di 'ssa nutazioni in i quali una cundizioni logica arbitraria hè furnita, è a somma hè supposta essa presa annantu à tutti i valori suddisfacenti a cundizioni. Par isempiu :

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$

hè a somma di $f(k)$ annantu à tutti l'intrei $k$ in l'intarvallu spicificatu,

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$

hè a somma di $f(k)$ annantu à tutti l'elementi $x$ di l'insemu $S$, è

$\sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)$

Hè a somma di $\mu (d)$ annantu à tutti l'intrei pusitivi $d$ dividendu $n$. Esistini ancu i mezi di generalizà l'usu di numarosi segni sigma. Par indittu,

$\sum _{i,j}$

Hè listessa cosa ch'è

$\sum _{i}\sum _{j}.$

Una nutazioni simili hè appiicata quand'eddu si tratta di disignà u pruduttu di una siquenza, chì hè simili à a so summazioni, ma chì usa l'uparazioni di multiplicazioni inveci di l'addizioni (è dà 1 pà una siquenza biota inveci di 0). Listessa struttura di basa hè apradata, incù ${\textstyle \prod }$, una forma ingrandata di a lettara maiuscula greca pi, rimpiazzendu u ${\textstyle \sum }$.

Da vede dinù

• Cungittura di Goldbach