Vés al contingut

Pinta de Dirac

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La pinta de Dirac és una sèrie infinita de deltes de Dirac separades per un interval T.

En matemàtiques, la pinta de Dirac (també anomenada tren d'impulsos o funció de mostratge en electrotècnia) és una distribució temperada periòdica[1] construïda a partir de deltes de Dirac[2]

per un període donat T. El símbol representa la pinta de Dirac de període unitat.[1] Alguns autors, en particular Bracewell, així com autors de llibres d'enginyeria elèctrica i teoria de circuits també s'hi refereixen com a funció Shah[2] (possiblement per la seva grafia, molt similar a la lletra ciríl·lica xa majúscula Ш). Pel fet de ser periòdica es pot expressar com a sèrie de Fourier:

Canvi d'escala

[modifica]

La propietat del canvi d'escala s'obté directament de les propietats de la delta de Dirac.[3] Amb per a qualsevol nombre diferent de zero, s'obté:

Cal notar que el signe de no altera el resultat.

Sèrie de Fourier

[modifica]

És evident que és periòdica amb període . Això significa que

per a tot t.

Sèrie de Fourier complexa

[modifica]

La seva sèrie de Fourier complexa és

on els coeficients de Fourier són

Tot els coeficients de Fourier són 1/T, per tant la sèrie de Fourier resultant és

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

Sèrie de Fourier trigonomètrica

[modifica]

La seva sèrie de Fourier trigonomètrica és

on els coeficients de Fourier i obtinguts directament a partir dels coeficients són

Per tant la sèrie de Fourier resultant és

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

Transformada de Fourier

[modifica]

La transformada de Fourier d'una pinta de Dirac és una pinta de Dirac[2] (propietat que comparteix amb la funció gaussiana de variància 1). Així doncs, la pinta de Dirac expressada en el domini freqüencial es pot escriure com:

A més, quan el període és unitari la transformada de Fourier de la pinta de Dirac és directament ella mateixa

Vegeu també

[modifica]

Referències

[modifica]
  1. 1,0 1,1 Xavier Gràcia Matemàtiques de la Telecomunicació. Definicions i resultats.
  2. 2,0 2,1 2,2 R.J. Beerends; H.G. ter Morsche; J.C. van den Berg; E.M. van de Vrie. Fourier and Laplace transforms. Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-53441-3. 
  3. Nicholas Wheeler Simplified production of Dirac delta functions identities.