Vés al contingut

Model de Kronig-Penney

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

L'any 1931, per il·lustrar el comportament dels electrons en un potencial periòdic, R. de L. Kronig i W. G. Penney van considerar un potencial quadrat unidimensional que s'aproximés als potencials que es troben a la pràctica i permetés obtenir una solució exacta de l'equació de Schrödinger.[1] Aquest potencial té un període i consisteix en pous quadrats, distribuïts de tal manera que l'energia potencial de l'electró és igual a zero quan , i és igual a quan .

La funció d'ona de l'electró satisfà l'equació de Schrödinger per a tot :és a dir:


Segons el teorema de Bloch, la funció d'ona d'un electró en un potencial unidimensional de període es pot expressar com una funció de Bloch de la formaon .


Considerem el cas en què . Si definim les constants i com i i substituïm la funció de Bloch a l'equació de Schrödinger, s'obtenen les equacions diferencials següents:


Les solucions generals d'aquestes equacions són:on , , i són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona i la seva derivada han de ser contínues en tot , aleshores i també han de ser contínues en tot . Per tant, tenint en compte la periodicitat de , les condicions de contorn han de ser les següents:és a dir:

Aquest sistema d'equacions té, com a mínim, una solució determinada si:

Desenvolupant aquest determinant, s'obté, després d'un càlcul llarg i laboriós:

A partir d'aquí, Kronig i Penney consideren el cas en què les barreres de potencial s'aproximen a funcions delta, és a dir, i . En aquest cas, si es defineixaleshores l'equació anterior s'escriu com:

Com que és real, el membre de la dreta només pren valors entre i . Per tant, per tal que l'equació es satisfaci, el membre de l'esquerra només pot prendre valors entre i .

Bibliografia

[modifica]
  • A. J. Dekker. Solid state physics. Reimpr. 1a ed. Londres: MacMillan, 1990.
  • J. P. McKelvey. Solid state and semiconductor physics. Reimpr. 1a ed. Florida: Krieger, 1984.
  • F. Seitz. The modern theory of solids. 1a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1940.

Referències

[modifica]
  1. R. de L. Kronig i W. G. Penney, "Quantum mechanics of electrons in crystal lattices", Proc. Roy. Soc. A 130, 499 (1931).