Pitagorina teorema
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Pythagorean_right_angle.svg/220px-Pythagorean_right_angle.svg.png)
U matematici, Pitagorina teorema je odnos u euklidskoj geometriji između triju stranica pravouglog trougla.
Pitagorina teorema glasi:
Ako je trougao pravougli, onda je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.[1]
Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine prav ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete pravouglog trougla, a c je hipotenuza:
Koristeći se algebrom, ova teorema može se preformulisati u moderni izraz s opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:
Uzimajući da je trougao s katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda vrijedi:
a2 + b2 = c2.
Historija
[uredi | uredi izvor]
Teorema je nazvana po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.
Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to učinjeno pomoću "egipatskog trougla" - trougla čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Također, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10; 9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način je uvedena veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre.[2]
Dokazi
[uredi | uredi izvor]Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.
Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.
Dokaz uz korištenje sličnih trouglova
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Proof-Pythagorean-Theorem.svg/220px-Proof-Pythagorean-Theorem.svg.png)
Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.
Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija: Kako je
tako je
Ovo se može pisati kao
Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo
Drugim riječima, Pitagorina teorema:
Primjena teoreme na kvadrat
[uredi | uredi izvor]Znamo da je kvadrat četverougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama.
Primjena teoreme na pravougaonik
[uredi | uredi izvor]Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC:
Primjena teoreme na jednakostranični trougao
[uredi | uredi izvor]Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima. Iz Pitagorine teoreme za trougao dobija se visina trougla
Primjena teoreme na jednakokraki trougao
[uredi | uredi izvor]Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz tjemena C, dobiju se dva pravougla trougla.
Primjena teoreme na romb
[uredi | uredi izvor]Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od : i međusobno se polove.
Također pogledajte
[uredi | uredi izvor]Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ MATEMATIKA Za 2. razred gimnazije i drugih srednjih škola. Sarajevo: IP "SVJETLOST". str. 45. ISBN 9958-10-626-4.
- ^ VREMEPLOVOM KROZ MATEMATIKU. Banjaluka: Grafomark. 2000. str. 118. ISBN 86-82875-28-4.
|access-date=
zahtijeva|url=
(pomoć)