Mersenneovi prosti brojevi

Mersenovi prosti brojevi su prosti brojevi oblika $2^{n}-1$

Nije poznato da li ovih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo.

U januaru 2013. pronađen je, za sada najveći 48. po redu Mersenov prost broj koji za n=57885161, ima 17 425 170 cifara.

Naziv su dobili po matematičaru Marinu Mersennu. Marin Mersenn ( 8.09. 1588 - 1. 09. 1648) je bio francuski teolog, filozof, matematičar i teoretičar muzike, koga često nazivaju ocem akustike . Mersenn je bio centar naučnog svijeta i svijeta matematike u prvoj polovini XVII vijeka. u svojoj knjizi Cogita Physico– Mathematica iznio tvrdnju da je broj $2^{n}-1$ za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 prost, a za sve druge prirodne brojeve manje od 257 da je složen. Kasnije su provjere pokazale kako je Mersenne pogriješio, brojevi $m_{67}$ i $m_{257}$ nisu prosti, a prosti su brojevi $m_{61}$ , $m_{89}$ i $m_{107}$ .

Ovo je nekoliko posljednjih

n	broj cifri	godina	otkrio
1 257 787	378632	1996	Slowinski i Gage
1 398 269	420 921	1996	Armengaud i Woltman
2 976 221	895 932	1997	Spence i Woltman
3 021 377	909 526	1998	Clarkson
6 972 593	2 098 960	1999	Hajratwala

1963. godine u Sjedinjenim Americkim Državama kreiran je poštanski pečat na kojem stoji zapis da je broj $2^{11213}-1$ prost. A na memorandumu velikog proizvodača računala IBM–a neko je vrijeme stajalo zapisano da je broj $2^{19937}-1$ prost.

Provjera da li je neki broj oblika $2^{n}-1$ Mersenneov ili nije je komplikovana. Broj $2^{n}$ vrlo brzo raste pa je neophodno u provjerama koristiti kompjutore. No neki stariji rezultati su uistinu impresivni. Francuski matematičar Edouard Lucas (1842. - 1891.) dokazao je 1876. da je broj

m_{127}=170141183460469231731687

303715884105727

prost broj.

Pritom je razvijao metode kojima bi se postupak provjere sto vise pojednostavnio, pa Lucasa danas smatraju pionirom modernog numeričkog računa. Važan je rezultat kako broj

2^{n}-1

uopšte može biti prost samo ako je

n

prost. Uz traganje za Mersenneovim brojevima vezan je niz zgodnih detalja. Tako su, primjerice Laura Nickel i Curt Noll, dvoje osamnaestogodišnjih studenata Kalifornijskog sveučilista u Haywardu, otkrili uz pomoć računara da je