ব্যবহারকারী:Milandeep Sarkar/ত্রিভুজ

 

সমবাহু ত্রিভুজ
একটি সুষম ত্রিভুজ
প্রকার	সুষম বহুভুজ
প্রান্ত ও ছেদচিহ্ন	৩
শ্লেফলি প্রতীক	{৩}
কক্সিটার ডায়াগ্রাম
প্রতিসাম্য দল	দ্বিতল (Dihedral) (D3), 2×3 ক্রমের (order)
অভ্যন্তরীণ কোণ (ডিগ্রি)	৬০°
দ্বৈত বহুভুজ	Self
বৈশিষ্ট্যাবলি	উত্তল, চক্রাকার, সমবাহু, isogonal, isotoxal

ত্রিভুজ = ত্রি (তিন) + ভুজ (বাহু)

ত্রিভুজ হল এমন একটি বহুভুজ যার তিনটি প্রান্ত এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। এটি জ্যামিতির মূল আকারগুলির মধ্যে একটি। A, B, এবং C শীর্ষবিন্দু সহ একটি ত্রিভুজকে $\triangle ABC$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, যেকোন তিনটি বিন্দু, যখন অসমরেখ, একটি অনন্য ত্রিভুজ এবং একই সাথে একটি অনন্য সমতল (অর্থাৎ একটি দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান) নির্ধারণ করে। অর্থাৎ, সেই ত্রিভুজটি ধারণ করে শুধুমাত্র একটি সমতল রয়েছে এবং প্রতিটি ত্রিভুজই কোনো না কোনো সমতলে রয়েছে। যদি পুরো জ্যামিতিটি শুধুমাত্র ইউক্লিডীয় সমতলে থাকে, তবে সমস্ত ত্রিভুজ শুধুমাত্র ওই একটি সমতলেই অবস্থান করছে; যদিও, উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে, এই তত্ত্বটি আর সত্য নয়। এই নিবন্ধটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ত্রিভুজ সম্পর্কে, এবং বিশেষ করে, ইউক্লিডীয় সমতল, যদি অন্যরূপে উল্লেখিত না থাকে।

ত্রিভুজের প্রকারভেদ

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির কমপক্ষে ২টি সমান বাহু রয়েছে (অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজগুলি হল সমদ্বিবাহু) এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে বিভিন্ন রকম ত্রিভুজের অয়লার ডায়াগ্রাম।

ত্রিভুজ শ্রেণীবদ্ধ করার পরিভাষা দুই হাজার বছরেরও বেশি পুরানো, এর প্রথম পৃষ্ঠায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ইউক্লিডের উপাদানে। আধুনিক শ্রেণিবিন্যাসের জন্য ব্যবহৃত নামগুলি হয় সরাসরি ইউক্লিডের গ্রীক থেকে প্রতিবর্ণীকরণ (ট্রান্সলিটারেশন) নয়তো তাদের লাতিন অনুবাদ।

বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বারা

প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড তিন ধরনের ত্রিভুজকে তাদের বাহুর দৈর্ঘ্য অনুসারে সংজ্ঞায়িত করেছেন:

গ্রিক: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, আক্ষ. 'Of trilateral figures, an isopleuron [equilateral] triangle is that which has its three sides equal, an isosceles that which has two of its sides alone equal, and a scalene that which has its three sides unequal.'

• একটি সমবাহু ত্রিভুজের ( গ্রিক: ἰσόπλευρον, আক্ষ. 'equal sides') সমান দৈর্ঘ্যের তিনটি বাহু রয়েছে। একটি সমবাহু ত্রিভুজও একটি সুষম বহুভুজ যার সব কোণের মান ৬০°।
• একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ( গ্রিক: ἰσοσκελὲς, আক্ষ. 'equal legs') সমান দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু আছে। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একই মানের দুটি কোণ রয়েছে, সমান দৈর্ঘ্যের দুটি বাহুর বিপরীত কোণ দুটি। এই তথ্যটি ইউক্লিড দ্বারা পরিচিত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উপপাদ্যের বিষয়বস্তু ছিল। কিছু গণিতবিদ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে কেবল দুটি সমান বাহুর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করেন, অপরপক্ষে কিছু গণিতবিদ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে ন্যূনতম দুটি সমান বাহু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করেন। পরবর্তী সংজ্ঞাটির মাধ্যমে সমস্ত সমবাহু ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে পর্যবসিত হয়। ৪৫–৪৫–৯০ হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যা টেট্রাকিস বর্গাকার টাইলিং- এ প্রদর্শিত হয়, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
• একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের ( গ্রিক: σκαληνὸν, আক্ষ. 'unequal') তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পৃথক। একইভাবে, এটির কোণ তিনটির মানও পৃথক।

• 
  সমবাহু ত্রিভুজ
• 
  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
• 
  বিষমবাহু ত্রিভুজ

হ্যাচ মার্ক, যাকে টিক মার্কও বলা হয়, সমান দৈর্ঘ্যের দিকগুলি সনাক্ত করতে ত্রিভুজ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক চিত্রের ডায়াগ্রামে ব্যবহৃত হয়। একটি দিক "টিকস" এর প্যাটার্ন দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, সংক্ষিপ্ত রেখার অংশগুলি ট্যালি মার্কের আকারে; দুই পক্ষের সমান দৈর্ঘ্য থাকে যদি তারা উভয়ই একই প্যাটার্ন দিয়ে চিহ্নিত হয়। একটি ত্রিভুজে, প্যাটার্নটি সাধারণত 3 টি টিকগুলির বেশি হয় না। একটি সমবাহু ত্রিভুজের 3টি বাহুতে একই প্যাটার্ন রয়েছে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র 2 বাহুর একই প্যাটার্ন রয়েছে এবং একটি স্কেল ত্রিভুজের সমস্ত দিকের বিভিন্ন প্যাটার্ন রয়েছে কারণ কোনও বাহু সমান নয়।

একইভাবে, কোণের অভ্যন্তরে 1, 2, বা 3টি সমকেন্দ্রিক চাপের প্যাটার্নগুলি সমান কোণ নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়: একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমস্ত 3টি কোণে একই প্যাটার্ন থাকে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র 2টি কোণে একই প্যাটার্ন থাকে এবং একটি স্কেল ত্রিভুজ সমস্ত কোণে বিভিন্ন নিদর্শন রয়েছে, যেহেতু কোন কোণ সমান নয়।

অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বারা

ইউক্লিডস এলিমেন্টের বিশ্বের প্রথম মুদ্রিত সংস্করণ (১৯৪২)-এর প্রথম পৃষ্ঠা, বইটির "সংজ্ঞা" বিভাগটি দেখানো হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজটিকে " অর্থোগোনিয়াস " আখ্যা দেওয়া হয়েছে, এবং প্রদর্শিত কোণ দুটি "অ্যাকুটাস" এবং "অ্যাঙ্গুলাস ওবটাস"। .

ত্রিভুজগুলিকে তাদের অভ্যন্তরীণ কোণ অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, যা ডিগ্রীতে পরিমাপ করা হয়।

• একটি সমকোণী ত্রিভুজ (বা সমকোণ ত্রিভুজ ) এর একটি অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে যার পরিমাপ 90° (একটি সমকোণ )। সমকোণের বিপরীত দিক হল কর্ণ, ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু। অন্য দুটি বাহুকে ত্রিভুজের পা বা ক্যাথেটি (একবচন: ক্যাথেটাস ) বলা হয়। সমকোণী ত্রিভুজগুলি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য মেনে চলে: দুই পায়ের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের যোগফল কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান: a² + b² = c², যেখানে a এবং b হল পায়ের দৈর্ঘ্য এবং c হল কর্ণের দৈর্ঘ্য। বিশেষ সমকোণী ত্রিভুজ হল অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ সমকোণী ত্রিভুজ যা তাদের জড়িত গণনাকে সহজ করে তোলে। সবচেয়ে বিখ্যাত দুটির মধ্যে একটি হল 3–4–5 সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে 3² + 4² = 5² । 3-4-5 ত্রিভুজটি মিশরীয় ত্রিভুজ নামেও পরিচিত। এই অবস্থায়, 3, 4, এবং 5 হল একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল । অন্যটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার 2টি কোণ রয়েছে যার পরিমাপ 45 ডিগ্রি (45–45–90 ত্রিভুজ)।
  • যে ত্রিভুজগুলির 90° পরিমাপের কোণ নেই তাদেরকে তির্যক ত্রিভুজ বলে।
• 90° এর কম পরিমাপের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ সহ একটি ত্রিভুজ একটি তীব্র ত্রিভুজ বা তীব্র-কোণযুক্ত ত্রিভুজ । যদি c হল দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য, তাহলে a² + b² > c², যেখানে a এবং b হল অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য।
• 90°-এর বেশি পরিমাপের একটি অভ্যন্তরীণ কোণ সহ একটি ত্রিভুজ হল একটি স্থূলকোণ বা স্থূলকোণী ত্রিভুজ । যদি c হল দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য, তাহলে a² + b² < c², যেখানে a এবং b হল অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য।
• 180° (এবং সমরেখার শীর্ষবিন্দু) অভ্যন্তরীণ কোণ সহ একটি ত্রিভুজ ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। একটি সমকোণী ক্ষয়প্রাপ্ত ত্রিভুজের সমরেখার শীর্ষবিন্দু রয়েছে, যার মধ্যে দুটি কাকতালীয়।

যে ত্রিভুজটির একই পরিমাপের দুটি কোণ রয়েছে তারও একই দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু রয়েছে এবং তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এটি অনুসরণ করে যে একটি ত্রিভুজে যেখানে সমস্ত কোণের পরিমাপ একই, তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য একই, এবং তাই এটি সমবাহু।

</img>	</img>	</img>
ঠিক	স্থূল	তীব্র
	$\quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	তির্যক

মূল কথা

একটি ত্রিভুজ, বাহ্যিক কোণ দেখাচ্ছে ঘ.

ত্রিভুজগুলিকে দ্বিমাত্রিক সমতল চিত্র বলে ধরে নেওয়া হয়, যদি না প্রসঙ্গটি অন্যথায় প্রদান করে (নীচে নন-প্লানার ত্রিভুজ দেখুন)। কঠোর চিকিৎসায়, একটি ত্রিভুজকে তাই বলা হয় 2- সিমপ্লেক্স (এছাড়াও পলিটোপ দেখুন)। ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য ইউক্লিড দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল, তার এলিমেন্টস বইয়ের 1-4, 300 খ্রিস্টপূর্বাব্দে লেখা।

ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপ সর্বদা 180 ডিগ্রী পর্যন্ত যোগ করে (তারা সমান তা নির্দেশ করার জন্য একই রঙ)।

ইউক্লিডীয় স্থানের একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপের সমষ্টি সর্বদা 180 ডিগ্রি। এই সত্যটি ইউক্লিডের সমান্তরাল অনুশাসনের সমতুল্য। এটি কোন ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের পরিমাপ নির্ধারণের অনুমতি দেয়, দুটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হয়। একটি ত্রিভুজের একটি বাহ্যিক কোণ হল একটি কোণ যা একটি অভ্যন্তরীণ কোণের রৈখিক জোড়া (এবং তাই সম্পূরক )। একটি ত্রিভুজের একটি বাহ্যিক কোণের পরিমাপ তার সংলগ্ন নয় এমন দুটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপের সমষ্টির সমান; এটি বাহ্যিক কোণ উপপাদ্য । যেকোন ত্রিভুজের তিনটি বাহ্যিক কোণের (প্রতিটি শীর্ষের জন্য একটি) পরিমাপের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি।

সাদৃশ্য এবং সঙ্গতি

দুটি ত্রিভুজকে একই রকম বলা হয়, যদি একটি ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ অন্য ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট কোণের সমান থাকে। অনুরূপ ত্রিভুজগুলির সংশ্লিষ্ট বাহুগুলির দৈর্ঘ্য একই অনুপাতে রয়েছে এবং এই বৈশিষ্ট্যটিও সাদৃশ্য স্থাপনের জন্য যথেষ্ট।

অনুরূপ ত্রিভুজ সম্পর্কে কিছু মৌলিক উপপাদ্য হল:

• যদি এবং শুধুমাত্র যদি দুটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির একটি জোড়া একে অপরের মতো একই পরিমাপ করে এবং অন্য একটি জোড়ারও একে অপরের মতো একই পরিমাপ থাকে তবে ত্রিভুজগুলি একই রকম হয়।
• যদি এবং শুধুমাত্র যদি দুটি ত্রিভুজের এক জোড়া সংশ্লিষ্ট বাহু একই অনুপাতে হয় এবং একই অনুপাতে হয় এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির পরিমাপ একই থাকে, তাহলে ত্রিভুজগুলি একই রকম। (বহুভুজের যেকোন দুই বাহুর অন্তর্ভূক্ত কোণ হল সেই দুই বাহুর মধ্যে অভ্যন্তরীণ কোণ। )
• যদি এবং শুধুমাত্র যদি দুটি ত্রিভুজের তিন জোড়া সংশ্লিষ্ট বাহু একই অনুপাতে হয়, তাহলে ত্রিভুজগুলি একই রকম হয়।

দুইটি ত্রিভুজ যেগুলি সমতুল্য তাদের ঠিক একই আকার এবং আকৃতি রয়েছে: সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমস্ত জোড়া পরিমাপে সমান, এবং সংশ্লিষ্ট বাহুর সমস্ত জোড়ার দৈর্ঘ্য একই। (এটি মোট ছয়টি সমতা, তবে তিনটিই প্রায়শই সঙ্গতি প্রমাণের জন্য যথেষ্ট। )

মনে করি, q _a, q _b, এবং q _c হল মধ্যবিন্দু থেকে যথাক্রমে a, b, এবং c দৈর্ঘ্যের বাহুর দূরত্ব। তারপর

• SAS পোস্টুলেট: একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমান, এবং অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির পরিমাপ একই।
• ASA: দুটি অভ্যন্তরীণ কোণ এবং একটি ত্রিভুজের অন্তর্ভুক্ত বাহুর পরিমাপ এবং দৈর্ঘ্য যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের মতো। (একজোড়া কোণের জন্য অন্তর্ভুক্ত দিক হল সেই দিক যা তাদের কাছে সাধারণ। )
• SSS: একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর সমান।
• AAS: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং একটি সংশ্লিষ্ট (অ-অন্তর্ভুক্ত) বাহুর পরিমাপ এবং দৈর্ঘ্য যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের মতো। (এটি কখনও কখনও AAcorrS হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং তারপরে উপরে ASA অন্তর্ভুক্ত করে। )

• Hypotenuse-Leg (HL) উপপাদ্য: একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং একটি পা অন্য সমকোণী ত্রিভুজের দৈর্ঘ্যের সমান। একে RHS (ডান-কোণ, কর্ণ, পাশ)ও বলা হয়।
• হাইপোটেনাস-কোণ উপপাদ্য: একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং একটি তীব্র কোণের দৈর্ঘ্য এবং পরিমাপ যথাক্রমে অন্য সমকোণী ত্রিভুজের মতো। এটি AAS উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে মাত্র।

একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হল:

• পার্শ্ব-পার্শ্ব-কোণ (বা কোণ-পার্শ্ব-পার্শ্ব) অবস্থা: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং একটি সংশ্লিষ্ট অ-অন্তর্ভুক্ত কোণের দৈর্ঘ্য এবং পরিমাপ যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের মতো হয়, তবে এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট নয় congruence; কিন্তু যদি প্রদত্ত কোণটি দুই বাহুর লম্বা বাহুর বিপরীত হয়, তাহলে ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়। হাইপোটেনাস-লেগ থিওরেম এই মানদণ্ডের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। পার্শ্ব-পার্শ্ব-কোণ অবস্থা নিজেই গ্যারান্টি দেয় না যে ত্রিভুজগুলি সঙ্গতিপূর্ণ কারণ একটি ত্রিভুজ স্থূল-কোণ এবং অন্যটি তীক্ষ্ণ-কোণ হতে পারে।

সমকোণী ত্রিভুজ এবং সাদৃশ্যের ধারণা ব্যবহার করে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সাইন এবং কোসাইন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এগুলি একটি কোণের ফাংশন যা ত্রিকোণমিতিতে তদন্ত করা হয়।

সমকোণী ত্রিভুজ

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

একটি কেন্দ্রীয় উপপাদ্য হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, যেটি যেকোন সমকোণী ত্রিভুজে বলে, কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গটি অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। যদি কর্ণের দৈর্ঘ্য c থাকে এবং পায়ের দৈর্ঘ্য a এবং b থাকে, তাহলে উপপাদ্যটি বলে যে

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

কথোপকথনটি সত্য: যদি একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য উপরের সমীকরণটি পূরণ করে, তাহলে ত্রিভুজের একটি সমকোণ বিপরীত বাহুর c ।

সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য:

• একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণগুলি পরিপূরক ।

$a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.$

• যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্য একই থাকে, তবে সেই পাগুলির বিপরীত কোণগুলির পরিমাপ একই হবে। যেহেতু এই কোণগুলি পরিপূরক, এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি 45 ডিগ্রি পরিমাপ করে। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, কর্ণের দৈর্ঘ্য একটি পায়ের দৈর্ঘ্য √ 2 ।
• 30 এবং 60 ডিগ্রি পরিমাপের তীব্র কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণটি ছোট বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং দীর্ঘ বাহুটি ছোট বাহুর বারের দৈর্ঘ্যের সমান √ 3 :

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$

সমস্ত ত্রিভুজের জন্য, কোণ এবং বাহুগুলি কোসাইনের নিয়ম এবং সাইনের আইন (এটিকে কোসাইন নিয়ম এবং সাইন নিয়মও বলা হয়) দ্বারা সম্পর্কিত।

একটি ত্রিভুজের অস্তিত্ব

পাশের অবস্থা

ত্রিভুজ অসমতা বলে যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল অবশ্যই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি বা সমান হতে হবে। এই যোগফলটি শুধুমাত্র একটি ক্ষয়প্রাপ্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হতে পারে, একটি সমরেখার শীর্ষবিন্দু সহ। সেই যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়। তিনটি প্রদত্ত ধনাত্মক বাহুর দৈর্ঘ্য সহ একটি ত্রিভুজ বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সেই বাহুর দৈর্ঘ্য ত্রিভুজের অসমতা পূরণ করে।

কোণে শর্ত

তিনটি প্রদত্ত কোণ একটি নন-ডিজেনারেট ত্রিভুজ গঠন করে (এবং প্রকৃতপক্ষে তাদের একটি অসীম) যদি এবং শুধুমাত্র এই দুটি শর্তই ধরে থাকে: (ক) প্রতিটি কোণ ধনাত্মক, এবং (খ) কোণগুলির যোগফল 180°। ক্ষয়প্রাপ্ত ত্রিভুজ অনুমোদিত হলে, 0° কোণ অনুমোদিত।

ত্রিকোণমিতিক অবস্থা

তিনটি ধনাত্মক কোণ α, β, এবং γ, তাদের প্রত্যেকটি 180° এর কম, একটি ত্রিভুজের কোণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে যেকোনো একটি থাকে:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$

$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,$

$\tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),$

শেষ সমতা শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য যখন কোনো কোণ 90° না হয় (তাই স্পর্শক ফাংশনের মান সর্বদা সসীম)।

একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত বিন্দু, রেখা এবং বৃত্ত

এমন হাজার হাজার বিভিন্ন নির্মাণ রয়েছে যা একটি ত্রিভুজের সাথে (এবং প্রায়শই ভিতরে) একটি বিশেষ বিন্দু খুঁজে পায়, যা কিছু অনন্য সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে: তাদের একটি ক্যাটালগের জন্য এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ট্রায়াঙ্গেল সেন্টারস নিবন্ধটি দেখুন। প্রায়শই এগুলি তিনটি বাহুর (বা শীর্ষবিন্দু) সাথে একটি প্রতিসম উপায়ে যুক্ত তিনটি লাইন খুঁজে বের করে এবং তারপর প্রমাণ করে যে তিনটি রেখা একটি একক বিন্দুতে মিলিত হয়েছে: এইগুলির অস্তিত্ব প্রমাণ করার একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার হল Ceva এর উপপাদ্য, যা একটি এই ধরনের তিনটি রেখা সমসাময়িক হলে তা নির্ধারণের মাপকাঠি। একইভাবে, একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত রেখাগুলিকে প্রায়শই প্রমাণ করে তৈরি করা হয় যে তিনটি প্রতিসমভাবে নির্মিত বিন্দু সমরেখার : এখানে মেনেলাউসের উপপাদ্য একটি দরকারী সাধারণ মানদণ্ড দেয়। এই বিভাগে সাধারণভাবে সম্মুখীন হওয়া নির্মাণগুলির মধ্যে কয়েকটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

পরিবৃত্ত হল ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তের কেন্দ্র।

একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর একটি লম্ব দ্বিখণ্ডক হল একটি সরল রেখা যা বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং এটির সাথে লম্ব হয়, অর্থাৎ এটির সাথে একটি সমকোণ তৈরি করে। তিনটি লম্ব বিভাজক একটি একক বিন্দুতে মিলিত হয়, ত্রিভুজের পরিবৃত্ত, সাধারণত O দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; এই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, বৃত্তটি তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। এই বৃত্তের ব্যাস, যাকে বৃত্তাকার ব্যাস বলা হয়, উপরে উল্লিখিত সাইনের সূত্র থেকে পাওয়া যায়। বৃত্তের ব্যাসার্ধকে বৃত্তাকার ব্যাসার্ধ বলে।

থ্যালেসের উপপাদ্যটি বোঝায় যে যদি বৃত্তকেন্দ্রটি ত্রিভুজের একটি পাশে অবস্থিত হয় তবে বিপরীত কোণটি একটি সমকোণ। যদি পরিবৃত্ত ত্রিভুজের ভিতরে অবস্থিত হয়, তাহলে ত্রিভুজটি তীব্র হয়; যদি পরিবৃত্ত ত্রিভুজের বাইরে থাকে, তাহলে ত্রিভুজটি স্থূল।

উচ্চতার ছেদ হল অর্থকেন্দ্র ।

একটি ত্রিভুজের উচ্চতা হল একটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা এবং বিপরীত দিকের (অর্থাৎ একটি সমকোণ গঠন করে) লম্ব। এই বিপরীত দিকটিকে উচ্চতার পাদদেশ বলা হয় এবং যে বিন্দুটি উচ্চতা বেসকে (বা এর সম্প্রসারণ) ছেদ করে তাকে উচ্চতার পাদদেশ বলে। উচ্চতার দৈর্ঘ্য হল ভিত্তি এবং শীর্ষবিন্দুর মধ্যে দূরত্ব। তিনটি উচ্চতা একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের অর্থকেন্দ্র বলা হয়, সাধারণত H দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অর্থকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ত্রিভুজটি তীব্র হয়।

কোণ দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ হল অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ দ্বিখণ্ডক হল একটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা যা সংশ্লিষ্ট কোণটিকে অর্ধেক করে দেয়। তিনটি কোণ দ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, ইনসেন্টার, সাধারণত I দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র। অন্তর্বৃত্ত হল সেই বৃত্ত যা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে এবং তিনটি বাহুকে স্পর্শ করে। এর ব্যাসার্ধকে ইনরাডিয়াস বলা হয়। আরও তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৃত্ত রয়েছে, বৃত্ত ; তারা ত্রিভুজের বাইরে থাকে এবং এক পাশের পাশাপাশি অন্য দুটির এক্সটেনশনকে স্পর্শ করে। অভ্যন্তরীণ এবং বহির্বৃত্তের কেন্দ্রগুলি একটি অর্থোকেন্দ্রিক সিস্টেম গঠন করে।

মধ্যকার ছেদ হল সেন্ট্রোয়েড ।

একটি ত্রিভুজের একটি মধ্যক হল একটি শীর্ষবিন্দু এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা, এবং ত্রিভুজটিকে দুটি সমান এলাকায় ভাগ করে। তিনটি মধ্যক একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, ত্রিভুজের সেন্ট্রোয়েড বা জ্যামিতিক ব্যারিসেন্টার, সাধারণত G দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি অনমনীয় ত্রিভুজাকার বস্তুর সেন্ট্রয়েড (একটি অভিন্ন ঘনত্বের একটি পাতলা শীট থেকে কাটা) এটির ভরের কেন্দ্রও : বস্তুটি একটি অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে তার কেন্দ্রে ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে। সেন্ট্রোয়েড প্রতিটি মধ্যকে 2:1 অনুপাতে কাটে, অর্থাৎ একটি শীর্ষবিন্দু এবং সেন্ট্রোয়েডের মধ্যবর্তী দূরত্ব বিপরীত দিকের কেন্দ্রবিন্দু এবং মধ্যবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের দ্বিগুণ।

নয়-বিন্দু বৃত্ত একটি প্রতিসাম্য প্রদর্শন করে যেখানে ত্রিভুজের প্রান্তে ছয়টি বিন্দু রয়েছে।

তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু এবং তিনটি উচ্চতার পাদদেশ সবই একটি একক বৃত্তের উপর অবস্থিত, ত্রিভুজের নয়-বিন্দু বৃত্ত । বাকি তিনটি বিন্দু যার জন্য এটির নামকরণ করা হয়েছে তা হল শীর্ষবিন্দু এবং অর্থকেন্দ্রের মধ্যবর্তী উচ্চতার অংশের মধ্যবিন্দু। নয়-বিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ বৃত্তের অর্ধেক। এটি অন্তর্বৃত্ত ( Feuerbach পয়েন্টে ) এবং তিনটি বৃত্তকে স্পর্শ করে।

অয়লারের রেখা হল একটি সরল রেখা যা অর্থকেন্দ্র (নীল), নয়-বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), সেন্ট্রোয়েড (কমলা) এবং বৃত্তকেন্দ্র (সবুজ)

অর্থকেন্দ্র (নীল বিন্দু), নয়-বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), কেন্দ্রিক (কমলা) এবং বৃত্তকেন্দ্র (সবুজ) সব একটি একক রেখায় অবস্থিত, যা অয়লার লাইন (লাল রেখা) নামে পরিচিত। নয়-বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রটি অর্থকেন্দ্র এবং বৃত্তকেন্দ্রের মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত এবং সেন্ট্রোয়েড এবং বৃত্তকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব সেন্ট্রোয়েড এবং অর্থকেন্দ্রের মধ্যে অর্ধেক।

বৃত্তের কেন্দ্র সাধারণভাবে অয়লার লাইনে অবস্থিত নয়।

একই শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া কোণ দ্বিখণ্ডে যদি কেউ একটি মধ্যক প্রতিফলিত করে, তাহলে একটি সিমিডিয়ান পাওয়া যায়। তিনটি সিমেডিয়ান একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, ত্রিভুজের সিমিডিয়ান বিন্দু ।

পাশ এবং কোণ গণনা

একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বা একটি কোণের পরিমাপের জন্য বিভিন্ন মানক পদ্ধতি রয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজে মান গণনার জন্য কিছু পদ্ধতি উপযুক্ত; অন্যান্য পরিস্থিতিতে আরও জটিল পদ্ধতির প্রয়োজন হতে পারে।

ত্রিভুজ

মূল নিবন্ধ: Morley's trisector theorem

একটি সমকোণী ত্রিভুজ সর্বদা একটি 90° (π/2 রেডিয়ান) কোণ অন্তর্ভুক্ত করে, এখানে C লেবেল সহ। কোণ A এবং B পরিবর্তিত হতে পারে। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একটি সমকোণী ত্রিভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য এবং অভ্যন্তরীণ কোণের মধ্যে সম্পর্ক নির্দিষ্ট করে।

সমকোণী ত্রিভুজে, সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্টের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অজানা কোণ এবং অজানা বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ত্রিভুজের বাহুগুলি নিম্নরূপ পরিচিত:

• কর্ণ হল সমকোণের বিপরীত বাহু, অথবা একটি সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এক্ষেত্রে h ।
• আমরা যে কোণে আগ্রহী তার বিপরীত দিক হল বিপরীত দিক, এই ক্ষেত্রে একটি ।
• সংলগ্ন দিক হল সেই পাশ যা আমরা যে কোণে আগ্রহী এবং সমকোণের সংস্পর্শে আছে, তাই এর নাম। এই ক্ষেত্রে সংলগ্ন দিকটি b ।

সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শক

$q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.$

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$

এবং

মূল নিবন্ধ: Morley's trisector theorem

$q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,$

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.$

$T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}$

$T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

কোণ

$T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},$

$T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},$

$T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},$

$T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}$

$T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )$

$R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};$

$r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}$

${\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;$

$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$

$T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$

$T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.$

যদি পয়েন্টগুলিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অনুক্রমিকভাবে লেবেল করা হয়, উপরের নির্ধারক অভিব্যক্তিগুলি ধনাত্মক এবং পরম মান চিহ্নগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে। উপরের সূত্রটি জুতার ফিতার সূত্র বা সার্ভেয়ারের সূত্র নামে পরিচিত।

যদি আমরা জটিল সমতলে শীর্ষবিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করি এবং তাদেরকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ক্রমানুসারে চিহ্নিত করি a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi, এবং c = x_C + y_Ci, এবং তাদের জটিল সংযোজকগুলিকে হিসাবে চিহ্নিত করি ${\bar {a}}$, ${\bar {b}}$, এবং ${\bar {c}}$, তারপর সূত্র

$T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}$

$T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$

$T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)$

যেখানে D হল বৃত্তের ব্যাস: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.$

$T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1$

$T=r\cdot s,$

$T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

$T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}$

পরিধি ব্যাস D এর জন্য; এবং

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.$

α ≠ 90° কোণের জন্য

$2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}$ .

$T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.$

$q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.$

$T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},$

$4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

মনে করি, q _a, q _b, এবং q _c হল মধ্যবিন্দু থেকে যথাক্রমে a, b, এবং c দৈর্ঘ্যের বাহুর দূরত্ব। তারপর

${\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,$

${\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,$

$q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,$

ত্রিভুজ

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$

T ক্ষেত্রফলের জন্য।

পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র এবং লম্ববিন্দু

$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$

বা সমতুল্যভাবে

${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$

একটি ত্রিভুজে খোদাই করা চিত্র

বর্গক্ষেত্র

180° × (1 + 4 f),

নির্মাণকার্যে ত্রিভুজ

নিউইয়র্কের ফ্ল্যাটিরন বিল্ডিংটি একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের মতো আকৃতির

[[বিষয়শ্রেণী:ত্রিভুজ]] [[বিষয়শ্রেণী:গ্রিক ভাষার লেখা থাকা নিবন্ধ]] [[বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা]]