ফ্রিদমান সমীকরণ

এই সমীকরণগুলো রাশিয়ান জ্যোতির্বিজ্ঞানী আলেক্সান্দ্র্‌ আলেক্সান্দ্রোভিচ ফ্রিদমান প্রবর্তন করেন।

সূত্রগুলো হলো:

$H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}$

$3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})$

where $\rho$ and $p$ are the density and pressure of the fluid, $\Lambda$

আরও সরল রূপ হলো:

$\rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$

$p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$

যা থেকে আমরা পাই:

$H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}$

$3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})$

সংকট ঘনত্ব

মহাবিশ্বের সম্প্রসারণ শেষমেশ থেমে গিয়ে, সংকোচন শুরু হওয়ার জন্য মহাজাগতিক ভর-ঘনত্বকে সর্বনিম্ন যে মানবিশিষ্ট হতে হবে তাকে সংকট ঘনত্ব (critical density) বলা হয়। মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব যদি সংকট ঘনত্বের চেয়ে বেশি হয় তাহলে মহাবিশ্ব স্থানিকভাবে(spatially) সসীম হবে। একে ρ_c দ্বারা সূচিত করা হয়।

সংকট ঘনত্বের সমীকরণ

ধরা যাক, R ব্যাসার্ধের একটি সুষম গোলকের মধ্যে রয়েছে অনেকগুলি ছায়াপথ। (হিসাবের সুবিধার্থে ধরে নিচ্ছি যে, যেকোন দুইটি ছায়াপথগুচ্ছের মধ্যকার দূরত্বের তুলনায় বড় হলেও মহাবিশ্বের সামগ্রিক আকৃতির তুলনায় R ক্ষুদ্রতর।)

এই সুষম গোলকটির ভর(M) হবে এর আয়তন ও মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব(ρ) এর গুণফলের সমান:

                                      $M={\frac {4\pi R^{3}}{3}}\rho$

এই গোলকটির পৃষ্ঠদেশে অবস্থিত যেকোন ছায়াপথের বিভব শক্তি নিউটনের মহাকর্ষতত্ত্ব থেকে পাওয়া যায়:

                                      $P.E.=-{\frac {mMG}{R}}=-{\frac {4\pi mR^{2}\rho G}{3}}$

যেখানে, m হলো ছায়াপথটির ভর, এবং G হলো সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক

                                     $\,G=6.673*10^{-11}Nm^{2}kg^{-2}$

হাবলের নীতি অনুসারে ছায়াপথটির দ্রুতি V হবে,

                                     $\,V=HR$

যেখানে H হলো হাবলের ধ্রুবক। সুতরাং গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত ছায়াপথটির গতিশক্তি হবে,

                                    $\,K.E.={\frac {1}{2}}mV^{2}={\frac {1}{2}}mH^{2}R^{2}$

এখন ছায়াপথটির বিভব শক্তি এবং গতিশক্তির সমষ্টি নিলে পাওয়া যাবে এর মোট শক্তি,

                                   $\,E=P.E.+K.E.=mR^{2}[{\frac {1}{2}}H^{2}-{\frac {4}{3}}\pi \rho G]$

শক্তির নিত্যতার নীতি অনুযায়ী মহাবিশ্ব সম্প্রসারিত হলেও মোট শক্তি(E) এর মান সদা অপরিবর্তীত থাকবে।

যদি E এর মান ঋণাত্মক হয়, তাহলে মহাবিশ্ব কখনোই অসীম পরিমাণে সম্প্রসারিত হতে পারবে না, কারণ অসীম দূরত্বে বিভবশক্তির মান নগণ্য হওয়ায় মোট শক্তির সিংহভাগ থাকে গতিশক্তি, যা কিনা সবসময়ই ধনাত্মক। অন্যদিকে, E এর মান ধনাত্মক হলে অসীম দূরত্বেও কিছু গতিশক্তি অবশিষ্ট থাকায় মহাবিশ্বের পক্ষে অসীম পরিমাণ সম্প্রসারণ সম্ভবপর হয়। সুতরাং, ছায়াপথটি কাঁটায় কাঁটায় মুক্তিবেগ প্রাপ্ত হওয়ার শর্ত হবে,

                                   ${\frac {1}{2}}H^{2}$ = ${\frac {4}{3}}\pi \rho G$

অন্যভাবে বলতে গেলে, এ অবস্থার জন্য ঘনত্বের মান হতে হবে,

                                  $\,\rho$c = ${\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$

এটাই হলো সংকট ঘনত্বের সমীকরণ। (এখানে নিউটনীয় পদার্থবিদ্যা ব্যবহৃত হলেও মহাবিশ্বের অন্তর্গত বস্তুসমূহ দারুনরকম আপেক্ষিক হলে সেক্ষেত্রেও এই সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে- কেবল $\,\rho$ কে মোট শক্তি-ঘনত্ব এবং c² এর অনুপাত হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।)

উদাহরণস্বরপ, যদি H এর অধুনা জনপ্রিয় মান ১৫ কিলোমিটার প্রতি সেকেন্ড প্রতি মিলিয়ন আলোকবর্ষ(১ আলোকবর্ষ = ৯.৪৬ x ১০^১২ কিলোমিটার) ব্যবহার করা হয় তবে:

             $\,\rho$c = ${\frac {3}{8\pi (6.67*10^{8}cm^{3}/gmsec^{2})}}({\frac {15km/sec/10^{6}ltyrs}{9.46*10{12}km/ltyr}})^{2}=4.5*10^{-30}gm/cm^{2}$

প্রতি গ্রামে নিউক্লীয় কণা আছে ৬.০২ X ১০^২৩ টি। সুতরাং সংকট ঘনত্বের এই মান নির্দেশ করে যে, প্রতি ঘনসেন্টিমিটারে ২.৭ X ১০^−৬ টি তথা প্রতি লিটারে ০.০০২৭ টি নিউক্লীয় কণা রয়েছে।