উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
গণিতে অসীম গুণফল কে (infinite product) নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
মিশ্র সংখ্যার কোনো শ্রেণী a 1 , a 2 , a 3 , ... এর জন্য গুণফল
∏
n
=
1
∞
a
n
=
a
1
a
2
a
3
⋯
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }
এর আংশিক গুণফল a 1 a 2 ...a n সীমাকে অসীম গুণফল বলা হয়, যখন n অসীমের দিকে অগ্রসর হয়। যখন সীমার অস্তিত্ব থাকে, এবং মান অশূন্য হয়, তখন গুণফল অভিসারী (converging) হয়, নচেৎ গুণফল অপসারী (diverging) হয়।
π এর মান এক অসীম গুণফলরূপে লেখা যায়:
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋅
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots }
π
2
=
(
2
1
⋅
2
3
)
⋅
(
4
3
⋅
4
5
)
⋅
(
6
5
⋅
6
7
)
⋅
(
8
7
⋅
8
9
)
⋅
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
2
4
n
2
−
1
)
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}
[ সম্পাদনা ] অসীম গুণফলের সঙ্গে সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এই যে সমস্ত সম্পূর্ণ অপেক্ষককে (entire function) f (z ) সম্পূর্ণ অপেক্ষকসমূহ, যার সর্বাধিক একটিই মূল আছে, তার অসীম গুণফলরূপে প্রকাশ করা যায়।[ ১]
কয়েকটি প্রকৃত মানের জন্য গামা অপেক্ষকে র গ্রাফ নীচে কিছু অপেক্ষকের অসীম গুণফলরূপে মান দেওয়া হয়েছে:
অপেক্ষক
অসীম গুণফলরূপে মান
টিকা
সরল পোল
c
c
−
z
=
∏
n
=
1
∞
e
1
n
(
z
c
)
n
1
1
−
z
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
z
2
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{c-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}\\{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}}
Sinc অপেক্ষক
sin
π
z
π
z
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
This is due to Euler . Wallis' formula for π is a special case of this.
অন্যোন্যক গামা অপেক্ষক
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
n
=
z
∏
n
=
1
∞
1
+
z
n
(
1
+
1
n
)
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}}
Schlömilch
উইয়ারসট্রাস সিগমা অপেক্ষক
σ
(
z
)
=
z
∏
ω
∈
Λ
∗
(
1
−
z
ω
)
e
z
2
2
ω
2
+
z
ω
{\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}}
Here
Λ
∗
{\displaystyle \Lambda _{*}}
কিউ-পোচামার চিহ্ন
(
z
;
q
)
∞
=
∏
n
=
0
∞
(
1
−
z
q
n
)
{\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})}
Widely used in q-analog theory. The Euler function is a special case.
রামানুজন থিটা অপেক্ষক
f
(
a
,
b
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
(
n
+
1
)
2
b
n
(
n
−
1
)
2
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
a
n
+
1
b
n
)
(
1
+
a
n
b
n
+
1
)
(
1
−
a
n
+
1
b
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}}
An expression of the Jacobi triple product , also used in the expression of the Jacobi theta function [ ১]
রিম্যান জিটা অপেক্ষক
ζ
(
z
)
=
∏
n
=
1
∞
1
1
−
p
n
−
z
{\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}
Here p n prime number s. This is a special case of the Euler product .
