4-скорасць

У фізіцы, у тым ліку ў спецыяльнай і агульнай тэорыі адноснасці, 4-скорасць (чытаецца чатырох-скорасць) — 4-вектар (вектар у чатырохмернай прасторы-часе), які выконвае ролю адпаведніка звычайнай скорасці (трохмернага вектара).

Падзеі апісваюцца ў часе і прасторы, якія разам утвараюць чатырохмерную прастору-час. Гісторыя аб’екта адлюстроўваецца крывою ў прасторы-часе, так званаю сусветнаю лініяй, якую можна параметрызаваць уласным часам аб’екта. 4-скорасць ёсць скорасць змянення 4-становішча адносна ўласнага часу ўздоўж крывой. Звычайная ж скорасць ёсць скорасць змянення становішча аб’екта ў (трохмернай) прасторы, як гэта бачыць назіральнік з інерцыяльнай сістэмы адліку адносна свайго часу (г. зн. часу, вымеранага ў сістэме назіральніка).

Такім чынам, 4-скорасць ёсць унармаваны накіраваны ў будучыню часападобны датычны вектар да сусветнай лініі, і з’яўляецца контраварыянтным вектарам. Хоць 4-скорасць і з’яўляецца вектарам, вынік складання дзвюх 4-скарасцей не будзе 4-скорасцю: прастора 4-скарасцей не з’яўляецца вектарнаю прастораю.

Абсалютная велічыня 4-скорасці аб’екта заўсёды раўняецца скорасці святла c. Для аб’екта ў стане спакою (адносна сістэмы адліку) яго 4-скорасць накіравана ў напрамку часавай каардынаты.

Скорасць

Шлях аб’екта ў трохмернай прасторы (у інерцыяльнай сістэме адліку) можна апісаць з дапамогай трох каардынатных функцый $x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}$ ад часу $t$ :

{\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}},

дзе $x^{i}(t)$ абазначаюць тры прасторавыя каардынаты аб’екта ў момант часу t.

Кампаненты скорасці ${\vec {u}}$ (датычнай да крывой) у любым пункце сусветнае лініі вызначаюцца так

{\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={dx^{i} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.

Тэорыя адноснасці

У Эйнштэйнавай тэорыі адноснасці, шлях перамяшчэння аб’екта адносна нейкай сістэмы адліку вызначаецца чатырма каардынатнымі функцыямі $x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}$ (дзе $x^{0}$ абазначае часавую каардынату, дамножаную на c), кожная функцыя залежыць ад аднаго параметра $\tau$ , які называецца ўласным часам аб’екта.

\mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}

Запавольванне часу

Рэлятывісцкае запавольванне часу дае наступныя суадносіны

t=\gamma \tau ,

дзе $\gamma$ — Лорэнцаў множнік, вызначаны наступным чынам:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},

а u — еўклідава норма вектара скорасці ${\vec {u}}$ :

u=\|{\vec {u}}\|={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}.

Азначэнне 4-скорасці

4-скорасць ёсць датычны 4-вектар да сусветнае лініі. 4-скорасць у любым пункце сусветнае лініі $\mathbf {x} (\tau )$ вызначаецца так:

\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }},

дзе $\mathbf {x}$ — 4-становішча, а $\tau$ — уласны час.

Гэтае азначэнне 4-скорасці, заснаванае на паняцці ўласнага часу аб’екта, нельга пашырыць ні на такія аб’екты, як фатоны, што рухаюцца з скорасцю святла, ні на тахіённыя сусветныя лініі, датычны вектар да якіх часападобны.

Кампаненты 4-скорасці

Сувязь паміж часам t і часаваю каардынатаю $x^{0}$ задаецца так

x^{0}=ct=c\gamma \tau .

Беручы вытворную па ўласнаму часу $\tau \,$ , знаходзім кампаненту 4-скорасці $U^{\mu }\,$ для μ = 0:

U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}=c\gamma .

Скарыстаўшы ланцуговае правіла, для $\mu =i=$ 1, 2, 3, маем

U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}c\gamma ={\frac {dx^{i}}{d(ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {dx^{i}}{dt}}c\gamma =\gamma {\frac {dx^{i}}{dt}}=\gamma u^{i},

дзе ўлічаны суадносіны

u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}.

Такім чынам, 4-скорасць $\mathbf {U}$ выглядае так:

\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right).

У тэрмінах мерак (і сінхранізаваных гадзіннікаў), звязаных з асобным участкам плоскай прасторы-часу, тры прасторападобныя кампаненты 4-скорасці вызначаюць уласную скорасць руху аб’екта $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$ , г. зн. скорасць, з якою аб’ект пакрывае адлегласць у сістэме адліку за адзінку ўласнага часу, што прайшла на гадзінніку, які рухаецца разам з аб’ектам.

Гл. таксама

Зноскі

Einstein, Albert; translated by Robert W. Lawson (1920). Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.{{cite book}}: Папярэджанні CS1: розныя назвы: authors list (спасылка)
Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.