Teoría del caos

El pendilexu doble ye unu de los sistemes caóticos más simples qu'esisten. Reparar la so trayeutoria irregular, amás dando al pendilexu una posición inicial llixeramente distinta llógrase una trayeutoria dafechu distinta pasáu un tiempu.

La teoría del caos ye la denominación popular de la caña de les matemátiques, la física y otres ciencies (bioloxía, meteoroloxía, economía, ente otres) que trata ciertos tipos de sistemes complexos y sistemes dinámicos bien sensibles a les variaciones nes condiciones iniciales. Pequeñes variaciones en diches condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencies nel comportamientu futuru, imposibilitando la predicción al llargu plazu. Esto asocede anque estos sistemes son en cierto deterministes, ye dicir; el so comportamientu puede ser dafechu determináu conociendo les sos condiciones iniciales.

Definición

La teoría del caos tamién esplica que la resultancia de daqué depende de distintes variables y que ye imposible de predicir. Por casu, si asitiamos un güevu nel cumal d'una pirámide nun vamos saber escontra onde va cayer.

Clasificación de los sistemes

Los sistemes dinámicos pueden clasificase básicamente en:

teoría de la estabilidá Estables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales abondo cercanes siguen siendo cercanes a lo llargo del tiempu. Asina, un sistema estable tiende a lo llargo del tiempu a un puntu, o órbita, según la so dimensión (atractor o sumidoriu).
Inestables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales distintes acaben diverxendo por pequeñes que sían les condiciones iniciales. Asina un sistema inestable "escapa" de los atractores.
Caóticos, cuando'l sistema nun ye inestable y magar dos soluciones caltener a una distancia "finita" cercana a un atractor del sistema dinámicu, les soluciones muévense en redol al atractor de manera irregular y pasáu el tiempu dambes soluciones nun son cercanes, magar suelen ser cualitativamente similares. D'esa manera, el sistema permanez confináu nuna zona del so espaciu d'estaos, pero ensin tender a un atractor fixu.

Una de les principales carauterístiques tantu de los sistemes inestables como los caóticos ye que tienen una gran dependencia de les condiciones iniciales (esto estrema a dambos tipos de los sistemes estables). D'un sistema del que se conocen los sos ecuaciones d'evolución temporal carauterístiques, y con unes condiciones iniciales fixes, puede conocese esautamente la so evolución nel tiempu. Pero nel casu de los sistemes caóticos, una mínima diferencia neses condiciones fai que'l sistema evolucione de manera totalmente distinta. Exemplos de tales sistemes inclúin el Sistema Solar, les plaques tectóniques, los fluyíos en réxime aturbolináu y les crecederes de población.^[1].

Caos determinista

El caos determinista entiende una serie de fenómenos atopaos na teoría de sistemes dinámicos, la teoría d'ecuaciones diferenciales y la mecánica clásica. En términos xenerales el caos determinista da llugar a trayectories acomuñaes a la evolución temporal de forma bien irregular y aparentemente azarosa que sicasí son totalmente deterministes, a diferencia del azar xenuinu. La irregularidá de les trayectories ta acomuñada a la imposibilidá práutica de predicir la evolución futura del sistema, anque esta evolución sía totalmente determinista.

Definición de caos y atractores

Nun hai una definición universal sobre'l caos, pero hai tres ingredientes nos que tolos científicos tán d'alcuerdu:

Movimientu trémbole. Les trayectories nun s'afaen a un puntu fixu, órbita periódica o órbita cuasiperiódica cuando $t\rightarrow \infty$ .
Determinismu. El sistema nun ye azarosu sinón determinista. El comportamientu irregular, en dimensión finita, surde de la non linealidad. Por eso defínese como determinista.
Sensibilidá a les condiciones. Les trayectories qu'empiecen cerca, col tiempu dixébrense esponencialmente. Esto ye, condiciones iniciales bien similares acaben dando llugar a comportamientos distintos pasáu un tiempu abondo llargu.

Los sistemes caóticos típicamente caracterícense por ser modelizables por aciu un sistema dinámicu que tien un atractor. Pa definir puramente un atractor hai que recurrir a tecnicismos, y ye difícil dar una idea intuitiva ensin ellos. Nun primer aproximamientu puede dicise qu'un atractor ye un conxuntu nel que toles trayectories cercanes converxen. Los puntos fixos y círculos llende son un exemplu d'ello. Al igual que na definición del caos, hai 3 ingredientes universales:

Cualquier trayeutoria que tea nun atractor, va tar nél pa $t\rightarrow \infty$ .
Atraen un conxuntu de condiciones iniciales. El conxuntu componer les condiciones iniciales de la so trayeutoria qu'acabe nel atractor cuando $t\rightarrow \infty$ .
Nun esisten condiciones iniciales que satisfaigan los dos regles anteriores.

Dientro de los atractores defínese como atractor estrañu o caóticu cuando'l atractor exhibe dependencia sensible coles condiciones iniciales.

La importancia de la non linealidad en dimensión finita

Hai dos importantes tipos de sistemes dinámicos: les ecuaciones diferenciales y los sistemes iterativos de funciones. Les ecuaciones diferenciales describen la evolución d'un sistema a tiempu real y los mapes iterados evolucionen en problemes onde'l tiempu ye discretu. Dambos son útiles pa dar exemplos del caos y tamién p'analizar soluciones periódiques o caótiques de les ecuaciones diferenciales.

Dizse qu'un sistema ye non llinial cuando la potencia de les variables d'esi sistema ye distintu a unu, hai productos ente distintos variables o funciones de les variables, por casu:

$x_{1}^{2}$ , $x_{1}\cdot \;x_{2}$ , $\cos {x_{2}}$

La mayoría de sistemes non lliniales son analíticamente irresolubles. Nestos casos puede llograse dalguna solución faciendo una aproximamientu, pero pierden soluciones físiques. La razón de que les ecuaciones lliniales sían más fáciles d'analizar ye que los sistemes lliniales pueden dixebrase en partes, resolver caúna d'elles y xuntar les soluciones pa llograr la solución final. El fechu ye que munches coses na naturaleza actúen de forma non llinial.

La importancia que tienen los sistemes nel caos ye'l siguiente: dizse qu'un sistema dinámicu ye non sensible cuando pequeños cambeos nes condiciones iniciales del sistema nun anicien grandes cambeos nel procesu y resultancia final del mesmu.

Diverxencia esponencial de trayectories cercanes

Tiempu d'horizonte. Esponente de Lyapunov.

Los atractores exhiben una dependencia sensible de les condiciones iniciales. Esto significa que dos trayectories qu'empiecen cerca una de la otra diverxen, y caúna va tener un futuru totalmente distintu de la otra. Faciendo estudios numbéricos de los atractores estraños puede atopase la siguiente proporción:

${\begin{matrix}\|\delta \|\approx \|\delta _{0}\|y^{\lambda t}\end{matrix}}$

onde $\delta (t)$ ye'l vector que dixebra 2 trayectories, $\delta _{0}$ ye la separación inicial y $\lambda$ ye'l esponente Lyapunov. Cuando'l sistema tien un esponente de Lyapunov positivu ( $\lambda >0$ ), atópase un tiempu d'horizonte onde la predicción dexa de ser válida. Si tómase $a$ como'l valor máximu de la distancia aceptable ente dos trayectories (la predicción va ser intolerable cuando $\|\delta (t)\|\geq a$ ), entós el tiempu d'horizonte defínese como

$t_{horizon}\approx {\frac {1}{\lambda }}\ln {\frac {a}{\|\delta _{0}\|}}$

Lo peor del tiempu d'horizonte ye que, por enforma que s'embriva la separación inicial, nun va llograr ser muncho más grande. Esto ye, anque se llogre una precisión bien bona, la medría del tiempu d'horizonte que se llogra va ser insignificante comparáu col amenorgamientu de $\delta _{0}$ . Por esto, Lorenz dixo que yera tan difícil predicir el tiempu. Esta torga de la predicción conocer col nome efecto mariposa por una charra de Lorenz col títulu "¿Puede'l bater de les ales d'una caparina en Brasil dar llugar a un tornáu en Texas?".

La sensibilidá a les condiciones ye tan desaxeradamente esaxerada que, aparte del provocatible títulu de la charra de Lorenz, atópense otres frases como,

Por perder un clavu, el caballu perdió la ferradura, el caballeru perdió al caballu, el caballeru nun combatió, la batalla perdióse, y con ella perdimos el reinu.

Si dibuxa una gráfica coles exes $\ln {||\delta ||}$ y $t$ , reparar que pa un curtiu plazu de $t$ , la función muévese alredor d'una pendiente. El valor d'esta rimada equival al esponente de Lyapunov. Como se repara nel exemplu de baxo, dempués d'un tiempu la función nun sigue cerca de la rimada. Esto ye por cuenta de que, como'l atractor ta acutáu nun espaciu del espaciu de fases, la distancia nun puede aumentar hasta'l infinitu.

Atractores

El comportamientu o movimientu nun sistema dinámicu puede representase sobre'l espaciu de fases. Les diagrames de fases nun amuesen una trayeutoria bien definida, sinón qu'ésta ye errabunda alredor de dalgún movimientu bien definíu. Cuando esto asocedi dizse que'l sistema ye atraíu escontra un tipu de movimientu, esto ye, qu'hai un atractor.

Al falar de atractores nun se fai referencia única y puramente a los atractores caóticos, yá que primero qu'apaeciera el caos conocíen otros tipos de atractores. D'alcuerdu a la forma en que les sos trayectories evolucionen, los atractores pueden ser clasificaos como:

Atractor de puntu fixu: Correspuende al más simple, el sistema que tenga un atractor de puntu fixu va tender a estabilizase nun únicu puntu. Un exemplu común ye'l pendilexu, que tiende al puntu nel que l'ángulu ye nulu al respective de la vertical, debíu a la esfregadura col aire.
Atractor de ciclu llende o atractor periódicu: Ye'l segundu tipu de atractor más senciellu. Esti tipu de atractor tiende a caltenese nun periodu igual pa siempres. Como exemplu, puede tomase un pendilexu alimentáu pa compensar la fuercia d'esfregadura, polo que bazcuyaría de llau a llau.
Atractor caóticu: Apaez en sistemes non lliniales que tienen una gran sensibilidá a les condiciones. Un famosu exemplu d'estos atractores ye'l atractor de Lorenz.

Estos nomes rellaciónense esautamente col tipu de movimientu que provoquen nos sistemes. Un atractor periódicu, por casu, puede emponer el movimientu d'un pendilexu n'oscilaciones periódiques; sicasí, el pendilexu va siguir trayectories errátiques alredor d'estes oscilaciones debíes a otros factores menores non consideraos.

Exemplos de atractores

va vese una introducción d'estos distintos tipos de atractores con un modelu matemáticu bien usáu pa esplicar el caos. Consiste nuna baniella d'aceru con un estremu fitu a un soporte y l'otru llibre pa bazcuyar ente dos imanes asitiaos simétricamente. El soporte de la baniella tópase sometíu a una fuercia harmónica $F=f\cos {\omega t}$ , como se repara na figura del modelu matemáticu.

Ye fácilmente observable que cuando la baniella ta en posición vertical, hai un puntu d'equilibriu inestable ente dos puntos d'equilibriu estables asitiaos simétricamente. El potencial d'esti sistema ye

${\begin{matrix}V(x)=-{\frac {1}{4}}x^{2}(2-x^{2})\end{matrix}}$

de cuenta que la ecuación de movimientu va ser,

${\begin{matrix}{\ddot {x}}=-V'(x)=x-x^{3}\end{matrix}}$

Si agora amiéstase una fuercia d'esfregadura del aire proporcional a la velocidá (- $\gamma {\dot {x}}$ ) y una fuercia esterno harmónica, llógrase la ecuación de Duffing:

{\begin{matrix}{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}-x+x^{3}=f\cos {\omega t}\end{matrix}}

De siguío vese cómo'l términu non llinial $x^{3}$ tien consecuencies dinámiques estelantes.


γ = 0, f = 0.	γ = 0.2, f = 0.

Suponiendo que primeramente non se tien resfregón ( $\gamma =0$ ) nin fuercia esterno ( $f=0$ ), el sistema ye conservativo y va tenese una integral primer qu'apurre les trayectories nel espaciu de fases $(x,{\dot {x}})$ :

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{4}}x^{2}(2-x^{2})=Y\end{matrix}}

Nos mínimos de la enerxía potencial reparar que los puntos son estables ente que'l máximu correspuende a un puntu de siella inestable. Les trayectories d'enerxía nula son órbites homoclínicas que se topen tantu na variedá estable como na inestable. Les demás trayectories correspuenden a oscilaciones periódiques que les sos órbites zarren un solu puntu estable ( $Y<0$ ) o dambos ( $Y>0$ ).

Si agora tiense en cuenta la esfregadura, van llograse oscilaciones amortiguadas, polo que ye lóxicu pensar que'l sistema va perder enerxía monótonamente, mientres el tiempu trescurra. Arriendes d'ello, les trayectories van tender a unu de los atractores de puntu fixu.

Si agora, amás de la esfregadura, introduzse una fuercia esterno harmónica que compensa a encomalo d'esfregadura, el sistema yá nun va tender al equilibriu. Al ser una fuercia harmónico atópense soluciones periódiques (ciclos llende), pero nada que ver colos periodos de los que se fala cuando'l sistema ye conservativo ( $\gamma =f=0$ ). Nesti casu los periodos son independientes de la enerxía pola fuercia d'esfregadura y l'harmónica, asina que los periodos dependen de la fuercia harmónico esterna.

Al aumentar la fuercia esterno ( $f=0.3$ ), les órbites periódiques sumen y bazcuyen darréu ensin nenguna regularidá. Amás de la irregularidá del sistema, este exhibe una gran sensibilidá a les condiciones iniciales polo qu'atopamos ante un atractor estrañu (o caóticu).

A última hora, por qu'haya caos en dimensión finita precísase que se cumplan los siguientes 3 puntos nun sistema:

El sistema tien de ser non llinial.
El sistema tien de tener mínimu 3 variables (pue ser por casu de 2 variables y non autónomu).
El sistema tien de tener dependencia sensible a les condiciones iniciales.


γ = 0.2, f = 0.3.	γ = 0.2, f = 0.23.

Cuando'l modelu matemáticu tenía $f=0$ yera un sistema non llinial, pero al introducir $f=0.23$ llógrase la tercera variable, el tiempu. Anque nun tenía dependencia a les condiciones iniciales. Por eso haise de remarcar que'l caos implica que'l sistema sía de 3 o más variables, pero 3 o más variables nun impliquen qu'haya caos.

Una manera de visualizar el movimientu caóticu, o cualquier tipu de movimientu, ye faer un diagrama de fases del movimientu. En tal diagrama'l tiempu ta implícitu y cada exa representa una dimensión del estáu. Por casu, un sistema en reposu va ser dibuxáu como un puntu, y un sistema en movimientu periódicu va ser dibuxáu como un círculu.

Atractores estraños

La mayoría de los tipos de movimientos mentaos na teoría anterior asoceden alredor de atractores bien simples, tales como puntos y curves circulares llamaes ciclos llende. Sicasí, el movimientu caóticu ta amestáu a lo que se conoz como atractores estraños, que pueden llegar a tener una enorme complexidá como, por casu, el modelu tridimensional del sistema climáticu de Lorenz, que lleva al famosu atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz ye, quiciabes, unu de les diagrames de sistemes caóticos más conocíos, non yá porque foi unu de los primeros, sinón tamién porque ye unu de los más complexos y peculiares, pos desendolca una forma particular, paecida a les ales d'una caparina.

Los atractores estraños tán presentes tantu nos sistemes continuos dinámicos (tales como'l sistema de Lorenz) como en dellos sistemes discretos (por casu, l'aplicación de Hénon). Otros sistemes dinámicos discretos tienen una estructura empuste, de tipu conxuntu de Julia, que fórmase na llende ente les cuenques de dos puntos d'atraición fixos. Julia puede ser sicasí un atractor estrañu. Dambos, atractores estraños y atractores tipu conxuntu de Julia, tienen típicamente una estructura de fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson amuesa qu'un atractor estrañu namái puede presentase como un sistema continuu dinámicu si tien trés o más dimensiones. Sicasí, tal restricción nun s'aplica a los sistemes discretos, que pueden exhibir atractores estraños en dos o inclusive una dimensión.

Daqué más de atractores

Los atractores estraños son curves del espaciu de fases que describen la trayeutoria elíptica d'un sistema en movimientu caóticu. Un sistema con estes carauterístiques ye impredicible, conocer la so configuración nun momentu dau nun dexa predicila con certidume nun momentu posterior. Sía comoquier, el movimientu nun ye absolutamente aleatoriu.

Na mayoría de sistemes dinámicos atópense elementos que dexen un tipu de movimientu repetitivu y, dacuando, geométricamente establecíu. Los atractores son los encargaos de que les variables qu'empecipien nun puntu de partida caltengan una trayeutoria establecida, y lo que nun se puede establecer d'una manera precisa son les oscilaciones que les variables puedan tener al percorrer les órbites que lleguen a establecer los atractores. Por casu, ye posible ver y de cierta manera prever la trayeutoria d'un satélite alredor de la Tierra; lo qu'apaez, nesti casu, como daqué indetermináu son los movimientos ya inconvenientes varios que se-y pueden presentar al oxetu pa efectuar esti percorríu.

Tresformamientu del panaderu

Nos atractores estraños reparar órbites irregulares, que les trayectories diverxen esponencialmente y que permanecen nun espaciu de fases acutáu. Pa esplicar estes propiedaes usará la tresformamientu del panaderu que consiste nun doble proceso d'espurrir y plegar.

Esti doble proceso d'espurrir (pa dixebrar exponencialmente les trayectories) y plegar (por que la rexón del espaciu de fases calténgase acutáu) ye un mecanismu fundamental del caos determinista. A esti procesu denominar tresformamientu del panaderu, porque'l procesu de homogeneizar la masa consiste tamién n'espurrir (pa homogeneizar) y plegar (pa tener unes dimensiones afechisques) la masa repitíes vegaes.

Al repitir infinites vegaes el procesu, llógrense infinites capes que-y dan al atractor una estructura fractal. Un exemplu d'esto puédese apreciar nel atractor de Rössler. Viendo'l gráficu reparar cómo nel númberu 1 espurrir y nel 3 pliégase. Coyendo'l 3 y volviendo aplicar el procesu, llógrase'l doble de capes.

Otru exemplu pa esplicar la tresformación ye la ecuación de Duffing. Nesti casu como $f\neq 0$ l'espaciu de fases ye tridimensional. Pero al apaecer $t$ nun cosenu, una dimensión ye cíclica, polo que pa visualizar el atractor considérase una seición estroboscópica pa valores $t=t_{0}+2n\pi$ , ( $n=0,1,...)$ .

Nel siguiente dibuxu hai 16 seiciones polo que $t_{0}=(k-1)\pi /8$ , ( $k=1,2,...,16$ )

Seiciones estroboscópicas del atractor de Duffing: mirando con atención el gráficu, vese claramente'l tresformamientu del panaderu. Esto ye, apréciase cómo al empar que s'espurre pliégase sobre sí mesmu.

Curtiu historia

El caos y los fractales son parte d'una tema más amplia, la dinámica, caña de la física qu'empezó a mediaos de 1600 cuando Isaac Newton afayó les ecuaciones diferenciales, les lleis de movimientu y la gravitación xeneral. Con estos elementos Newton resolvió problemes de dos cuerpos que interactúan per mediu de la gravedá pero, lo que de verdá-y llamaba l'atención yera'l movimientu de la Lluna y la so xeneralización conocida col nome de problema de los trés cuerpos. Les siguientes xeneraciones de matemáticos y físicos trataron problemes de tres cuerpos y notaron que resultaben muncho más difíciles que los problemes de dos cuerpos, hasta'l puntu de dalos como imposibles.

El determinismu laplaciano

En 1776 el matemáticu francés Pierre Simon de Laplace empezó a publicar los 5 volumes del Traité de Mécanique Céleste, onde l'autor afirmaba categóricamente que, si conociera la velocidá y la posición de toles partícules del Universu nun intre, podría predicise el so pasáu y el so futuru. Por más de 100 años la so afirmación paeció correuta y, por ello, llegar a la conclusión de que'l llibre albedríu nun tenía espaciu en mecánica clásica, yá que tou taba determináu pol estáu del Universu nun tiempu anterior.

El determinismu laplaciano consistía n'afirmar que, si conocen les lleis que gobiernen los fenómenos estudiaos (y estes son deterministes como en mecánica clásica), conócense les condiciones iniciales y yese capaz de calcular la solución, entós puede predicise con total certidume'l futuru del sistema estudiáu.

El cuestionamiento de Poincaré

A finales del sieglu XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemáticu francés, introdució un nuevu puntu de vista al preguntar si'l Sistema Solar sería estable pa siempres. Poincaré foi'l primeru en pensar na posibilidá del caos, nel sentíu d'un comportamientu que dependiera sensiblemente nes condiciones iniciales. En 1903 Poincaré postulaba alrodiu de lo aleatorio y del azar nos siguientes términos:

L'azar nun ye más que la midida de la inorancia del home.

reconociendo, al empar, la esistencia d'innumberables fenómenos que nun yeren dafechu aleatorios, sinón qu'a cencielles nun respondíen a una dinámica llinial; aquellos onde pequeños cambeos nes condiciones iniciales conducíen a enormes cambeos na resultancia.

Delles propiedaes identificaes por Poincaré y que faíen imposible la predicción al llargu plazu atopáronse na práutica en sistemes físicos tales como'l clima, la sangre fluyendo al traviés del corazón, les turbulencies, les formaciones xeolóxiques, los atascos de vehículos, les epidemies, la bolsa y la forma en que les flores florien nun prau.

L'apurra de Lorenz

L'empiezu de la recién hestoria del caos asitiar na década de 1950 cuando s'inventaron los ordenadores y desenvolviéronse delles intuiciones sobre'l comportamientu de los sistemes non lliniales. Esto ye, cuando se vieron les primeres gráfiques sobre'l comportamientu d'estos sistemes por aciu métodos numbéricos. En 1963 Edward Lorenz trabayaba nunes ecuaciones, les mundialmente conocíes como ecuaciones de Lorenz, qu'esperaba predixeren el tiempu na atmósfera, y trató por aciu los ordenadores de ver gráficamente'l comportamientu de les sos ecuaciones. Los ordenadores d'aquella dómina yeren bien lentos, por eso dizse que Lorenz foi a tomar un té mientres l'ordenador faía los cálculos, y cuando volvió atopar con una figura qu'agora se conoz como atractor de Lorenz.

Pensó que se cometiera dalgún error al executar el programa ya intentar repitíes vegaes, llogrando siempres el mesmu resultáu hasta que se dio cuenta de que daqué pasaba col sistema d'ecuaciones simplificáu col que taba trabayando. Dempués d'estudiar en tientes el problema y faer pruebes con distintes parámetros (tanto iniciales como les constantes del sistema), Lorenz llegó a la conclusión de que les simulaciones yeren bien distintes pa condiciones iniciales bien próximes. Al llegar a la mesma, recordó que nel programa qu'él creara pal so sistema de meteoroloxía col ordenador Royal McBee, podíen introducise un máximu de 3 decimales pa les condiciones iniciales, anque'l programa trabayaba con 6 decimales y los 3 postreros decimales que faltaben introducíense aleatoriamente. Lorenz publicó los sos descubrimientos en revistes de meteoroloxía, pasando desapercibíos mientres casi una década.

La década de 1970 foi'l boom del caos. En 1971 David Ruelle y Floris Takens propunxeron una nueva teoría pa la turbulencia de fluyíos basada nun atractor estrañu. Años dempués l'ecólogu teóricu Robert May en 1976 atopó exemplos de caos en dinámica de poblaciones usando la ecuación loxística discreta. De siguío llegó'l más sorprendente descubrimientu de toos de la mano de Feigenbaum. Él afayó qu'hai un conxuntu de lleis universales concretes qu'estremen la transición ente'l comportamientu regular y el caos, por tanto, ye posible que dos sistemes evolucionen escontra un comportamientu caóticu igual.

Ecuaciones de Lorenz

El primer sistema d'ecuaciones bien carauterizáu qu'exhibía comportamientu caóticu foi'l sistema d'ecuaciones propuestu por Lorenz:

${\begin{matrix}{\dot {x}}&=&\sigma (y-x)\\{\dot {y}}&=&rx-y-xz\\{\dot {z}}&=&xy-bz\end{matrix}}$

onde $\sigma$ ye'l númberu de Prandtl (mafa/conductividá térmica), $r$ ye'l númberu de Rayleigh (John Strutt) (diferencia de temperatura ente base y tope) y $b$ ye la razón ente la llargor y altor del sistema.

Lorenz reparó dos cuesas fundamentales qu'asocedíen na so ecuación:

Cualquier diferencia nes condiciones iniciales antes de los cálculos, inclusive infinitesimal, camudaba de forma drástica los resultaos. Tan solo podía predicise el sistema por curtios periodos. Llevando eso a la meteoroloxía, suponía lo que se llamó efecto mariposa, hipersensibilidad a les condiciones iniciales.
A pesar de lo anterior, la impredecibilidad del sistema, lloñe de ser un comportamientu al azar, tenía un interesáu enclín a evolucionar dientro d'una zona bien concreta del espaciu de fases, asitiando una especie de pseudocentro de gravedá de los comportamientos posibles.

Les ecuaciones de Lorenz fueron propuestes como un modelu bien simplificáu de la conveición en forma d'aniellos que paez asoceder dacuando na atmósfera terrestre. Por ello, los trés magnitúes a les que Lorenz referir nel so sistema son, * $x\rightarrow$ Razón de rotación del aniellu.

$y\rightarrow$ Gradiente de temperatura.
$z\rightarrow$ Esviación de la temperatura al respective de la so valor d'equilibriu.

Lorenz afayó que'l so sistema contenía una dinámica desaxeradamente errática. Les soluciones bazcuyaben irregularmente ensin llegar a repitise, anque lo faíen nuna rexón acutada del espaciu de fases. Vio que les trayectories rondaben siempres alredor de lo qu'agora se define como atractor estrañu. El sistema de Lorenz ye disipativo.

Aplicaciones

La teoría del caos y la teoría de sistemes dinámicos cunten anguaño con numberoses aplicaciones tantu en ciencies naturales como en teunoloxía y ciencies sociales. Desenvolviéronse aplicaciones práutiques nel campu del control, la carauterización y el modeláu de sistemes complexos. Mientres los cuatro décades que siguieron a los años 1960 aumentó enforma la lliteratura sobre los sistemes complexos y la teoría del caos, según les temátiques y aplicaciones allumaes arriendes de la investigación en dichu campu interdisciplinar.

En Teoría del Caos, el tercer paradigma, esplícase cómo la estadística inferencial trabaya con modelos aleatorios pa crear series caótiques predictoras pal estudiu d'eventos presumiblemente caóticos nes ciencies sociales.

En meteoroloxía

El tiempu atmosféricu, amás de ser un sistema dinámicu, ye bien sensible a los cambeos nes variables iniciales, ye un sistema transitivu y tamién les sos órbites periódiques son trupes, lo que fai del tiempu un sistema apropiáu pa trabayalo con matemática caótica. La precisión de les predicciones meteorolóxiques ye relativa, y los porcentaxes anunciaos tienen pocu significáu ensin una descripción detallada de los criterios emplegaos pa xulgar la exactitú d'una predicción.

A la fin del sieglu XX volvióse común atribuyi-yos una precisión d'ente 80 y 85% en plazos d'un día. Los modelos numbéricos estudiaos na teoría del caos introducieron considerables meyores na exactitú de les previsiones meteorolóxiques en comparanza coles predicciones anteriores, realizaes per mediu de métodos suxetivos, cuantimás pa periodos cimeros a un día. Anguaño ye posible demostrar la confiabilidad de les predicciones específiques pa periodos d'hasta cinco díes gracies a la densidá ente les órbites periódiques del sistema y llográronse dellos ésitos na predicción de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidá pa periodos d'hasta 30 díes.

Antes de l'apaición de la Teoría del Caos, pensábase que por que'l tiempu aportara a predichu con exactitú newtoniana nun yera más qu'una cuestión d'introducir más y más variables nun ordenador lo suficientemente potente como pa procesales. Sicasí, d'unes poques variables de fai tan solo unes décades pasóse a considerar cientos de miles de variables ensin consiguir la predictibilidad esperada. El clima, como sistema caóticu, hai d'entendese como un sistema impredicible dientro d'un atractor que-y confier ciertu orde al traviés de les estaciones. Más apocayá probóse que'l calter caóticu del tiempu atmosféricu tien que ver coles propiedaes xeométriques del grupu d'evolución del sistema climáticu terrestre, en concretu dichu grupu puede dotase de la estructura d'una variedá de Riemann de dimensión infinita con combadura negativa, lo cual implica que curves arbitrariamente cercanes acaben diverxendo nel tiempu. Estes resultancies suxeren una imposibilidá práutica de predicir el tiempu atmosféricu a mediu y llargu plazu. El clima ye sensible a pequeñes variaciones nes condiciones iniciales y la determinación de les condiciones iniciales con exactitú ta empuestu al fracasu pola mor del Principiu d'incertidume de Heisenberg. Envaloróse qu'una predicción a dos meses vista riquiría conocer les condiciones iniciales con una precisión unes 100 mil veces cimera a la precisión llograda por dicha predicción.

En medicina

L'analís de les series temporales procedentes d'electrocardiogrames y encefalogramas qu'en dellos detalles presenten detalles aparentemente aleatorios, paecen tar xeneraos por una dinámica que de fechu ye un sistema caóticu. Los esponentes y parámetros matemáticos que caractericen diches series pudieron ser usaos como mediu de diagnósticu de ciertes patoloxíes. Esto dexa un diagnósticu precoz de delles d'eses patoloxíes.

Ver tamién

Bibliografía

Plantía:Formato de referencies

Solé, R. V., y Manrubia, S. C. (2001). Orde y caos en sistemes complexos. Universidá Politéunica de Cataluña, ISBN 9788483014301
(n'inglés) T. W. B. Kibble et F.H. Berkshire, Classical Mechanics, Prentice Hall, 4 édition, 1997 ISBN 0-582-25972-X.
(n'inglés) Kathleen T. Alligood, Tim Sauer et James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1997 ISBN 978-0-387-94677-1
(n'inglés) David Ruelle, Deterministic chaos: the science and the fiction, Proceedings of the Royal Society London A 427 (1990), 241-248
(en francés) Henri Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars, 1892
(en francés) Jacques Hadamard, Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de mathématiques pures et appliquées 4 (1898), 27. Pour une revue plus rezar, voir e.g. la référence suivante : Pierre Pansu, -y flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
(n'inglés) Vladimir Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 2 édition, 1989 ISBN 0-387-96890-3.
(n'inglés) Vladimir Arnold, V.V. Kozlov et A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2 édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.
(n'inglés) Vladimir Arnold y André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988.
(n'inglés) David Ruelle et Jean-Pierre Eckman, Ergodic theory of chaos and strange attractors, Review of Modern Physisc 57 (1985), 617-656
(n'inglés) Vladimir Damgov, Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004
(n'inglés) Robert May, Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics, Nature, Vol. 261, p. 459, June 10, 1976
Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-471-54571-6.
Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.
Gutzwiller, Martin (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-387-97173-4.
Hoover, William Graham (1999,2001). Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos. World Scientific. ISBN 981-02-4073-2.
González-Miranda, J. M. (2004). Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers. Imperial College Press. ISBN 1-86094-488-4.

Referencies

↑ «Analís Computacional de Modelos Biolóxicos pa la so Aplicación a Modelos Económicos». CIT Internacional.

Enllaces esternos

Artículu divulgativu sobre'l creciente apurra de la Teoría del Caos en Medicina Serviciu de divulgación científica DivulgaUNED (Universidá Nacional d'Educación a Distancia d'España, ochobre de 2009).
Algames y llimitaciones de la Teoría del Caos aplicada al analís del Comportamientu Organizacional, Cultural y la necesidá del cambéu De la Universidá Peruana de Ciencies Aplicaes
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[1] «Analís Computacional de Modelos Biolóxicos pa la so Aplicación a Modelos Económicos». CIT Internacional.

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