Axoma

Axoma
	conceutu matemáticu
	proposición (es) , concepto primitivo (es) y lema (es)

Un axoma ye una proposición asumida dientro d'un cuerpu teóricu sobre la cual fuelguen otros razonamientos y proposiciones deducíes d'eses premises.

Introducíu orixinalmente polos matemáticos griegos del periodu helenísticu, el axoma considerábase como una proposición evidente» y que s'aceptaba ensin riquir demostración previa. Darréu, nun sistema hipotéticu-deductivu, un axoma yera toa proposición non deducida d'otres, sinón que constitúi una regla xeneral de pensamientu lóxicu (por oposición a los postulaos).^[1] Asina en lóxica y matemátiques, un axoma ye namái una premisa que s'asume, con independencia de que seya o non evidente, y que s'usa pa demostrar otres proposiciones. Anguaño búscase qué consecuencies lóxiques porten un conxuntu d'axomes, y de fechu en dellos casos optar por introducir un axoma o bien el so contrariu, viendo que nenguna de los dos paez una proposición evidente. Asina, si tradicionalmente los axomes escoyer d'ente afirmaciones evidentes», coles mires de deducir el restu de proposiciones, na moderna teoría de modelos un axoma ye namái una asunción, y de nenguna manera considérase que la verdá o falsedá de los axomes dependa del sentíu intuitivu que se-y pueda atribuyir, o se recurre a que puedan ser autoevidentes.

En lóxica un postuláu ye una proposición non necesariamente evidente: una fórmula bien formada (plantegada) d'un llinguaxe formal utilizada nuna deducción pa llegar a una conclusión.

En matemática estremen dos tipos de proposiciones: axomes lóxicos y postulaos.

Etimoloxía

La pallabra axoma provién del sustantivu griegu αξιωμα, que significa «lo que paez xustu» o, que se-y considera evidente, ensin necesidá de demostración. El términu vien del verbu griegu αξιοειν (axioein), que significa «valorar», que de la mesma vien de αξιος (axios): «pervalible» o «dignu». Ente los filósofos griegos antiguos, un axoma yera lo que paecía verdaderu ensin necesidá de prueba dalguna.

Legáu helénicu

Unu de los grandes frutos de los matemáticos griegos foi l'amenorgamientu de asertos matemáticos y teoremas, en forma racional y coherente, a una pequeña cantidá de postulaos o axomes bien simples, los bien conocíos axomes de la xeometría, o bien les regles de l'aritmética, que presiden rellaciones ente unos pocos oxetos básicos, tales como los númberos enteros y los puntos xeométricos. Los oxetos matemáticos xeneráronse como astracciones o idealizaciones de la realidá física. Los axomes, yá seya aceptaos como "evidentes" dende un puntu de vista filosóficu o bien puramente como abrumadoramente plausibles, aceptar ensin demostración; sobre ellos haise alzáu la cristalizada estructura de les matemátiques.^[2]

Lóxica

La lóxica del axoma ye partir d'una premisa calificada de verdadera por sigo mesma (l'axoma), y de ésta inferir otres proposiciones per mediu del método deductivu, de lo cual llógrense conclusiones coherentes col axoma. A partir de los axomes, y de regles de inferencia, han de deducise toles demás proposiciones d'una teoría dada.

Axoma lóxicu

Los axomes son ciertes fórmules nun llinguaxe formal que son universalmente válides, esto ye fórmules satisfeches por cualesquier estructura y por cualesquier función variable. En términos coloquiales son enunciaos verdaderos en cualquier mundu posible, so cualquier interpretación posible, con cualesquier asignación de valores. Comúnmente tómase como axoma un conxuntu mínimu de tautoloxíes abondes pa probar una teoría.

Exemplu 1

En cálculu proposicional ye común tomar como axomes lóxicos toles fórmules siguientes:

$\phi \to (\psi \to \phi )\,$
$(\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))\,$
$(\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi )$ , onde $\phi \,$ , $\psi \,$ , y $\chi \,$ pueden ser cualquier fórmula nel llinguaxe.

Cada unu d'esti patrones ye un esquema d'axomes, una regla pa xenerar un númberu infinitu d'axomes. Por casu si p, q, y r son variables proposicionales, entós $p\to (q\to p)\,$ y $(p\to \neg q)\to (r\to (p\to \neg q))\,$ son instancies del esquema 1 y polo tanto son axomes.

Puede probase que, con solamente estos trés esquemes d'axomes y la regla de inferencia modus ponens, toles tautoloxíes del cálculu proposicional son demostrables. Tamién puede probase que nengún par d'estos esquemes ye abondu pa demostrar toles tautoloxíes utilizando modus ponens. Esti conxuntu d'esquemes axomáticos tamién s'utiliza nel cálculu de predicaos, pero son necesarios más axomes lóxicos.

Exemplu 2

Sía ${\mathfrak {L}}\,$ un llinguaxe de primer orde. Pa cada variable $x\,$ la fórmula $x=x\,$ ye universalmente válida.

Esto significa que, pa cualquier símbolu variable $x\,$ , la fórmula $x=x\,$ puede considerase axoma. Pa nun incurrir en vaguedad o nuna serie infinita de nociones primitives», primero precísase una idea de lo que se desea espresar por aciu $x=x\,$ , o definir un usu puramente formal y sintácticu del símbolu $=\,$ . De fechu asocede esto en Lóxica matemática.

Otru exemplu interesante ye'l de «instanciación universal» , por aciu el cuantificador universal. Pa una fórmula $\phi \,$ nun llinguaxe de primer orde ${\mathfrak {L}}\,$ , una variable $x\,$ y un términu $t\,$ sustituible por $x\,$ en $\phi \,$ , la fórmula $\forall x.\phi \to \phi _{t}^{x}$ ye válida universalmente.

En términos informales esti exemplu dexa afirmar que si se sabe que cierta propiedá $P\,$ cumplir pa toa $x\,$ y que si $t\,$ ye un oxetu particular na estructura, tar en capacidá d'afirmar $P(t)\,$ .

De nuevu afírmase que la fórmula $\forall x.\phi \ \to \phi _{t}^{x}$ ye válida. Esto ye, tien de sese capaz d'apurrir una prueba d'esti fechu, o -meyor espresáu- una metaprueba. N'efeutu, estos exemplos son metateoremas de la teoría de lóxica matemática, una y bones la referencia ye puramente al conceutu demostrativu en sí. Amás puede estendese a una xeneralización esistencial utilizando'l cuantificador esistencial.

Esquema axomáticu. Pa una fórmula $\phi \,$ nun llinguaxe de primer orde ${\mathfrak {L}}\,$ , una variable $x\,$ y un términu $t\,$ sustituible por $x\,$ en $\phi \,$ , la $\phi _{t}^{x}\to \exists x.\phi$ ye universalmente válida.

Matemátiques

En matemátiques por que una afirmación seya considerada válida debe o bien tar contenida dientro d'una base d'afirmaciones de partida, los denominaos axomes, o tien de poder demostrase a partir de los mesmos. Los axomes son por tanto los pilastres fundamentales de toa caña de les matemátiques, y a partir d'ellos, por aciu les demostraciones matemátiques, deduzse la veracidá de cualquier afirmación.

Los axomes van ser, por tanto, afirmaciones que s'acepten como verdaderes y que la so veracidá nun puede ser demostrada a partir d'otros axomes. Un axoma nun se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo'l axoma d'eleición un exemplu d'un axoma que nun resulta trivial.

L'otru tipu d'afirmaciones a les que se fai referencia son los teoremes. Estes afirmaciones tienen de ser demostraes usando los axomes o otros teoremas yá demostraos. Una consecuencia inmediata d'un teorema va llamase corolariu.

Munches partes de la matemática tán axiomatizadas, lo que significa qu'esiste un conxuntu d'axomes de los cualos ye posible deducir toles verdaes d'esa parte de la matemática. Por casu, de los axomes de Peano ye posible deducir toles verdaes de l'aritmética (y por estensión, d'otres partes de la matemática).

El formalismu surdíu de resultes de la crisis fundacional de principios del sieglu XX dio llugar al llamáu programa de Hilbert. Dichu programa abogaba pola formalización de distintes cañes de les matemátiques por aciu un conxuntu d'axomes esplícitos, polo xeneral formulaos en llinguaxes formales de primer orde. Eso significa que xunto colos axomes lóxicos ordinarios d'una teoría de primer orde introducíense símbolos extralógicos (pa constantes, funciones y predicaos) y ciertos axomes matemáticos qu'usaben dichos signos qu'acutaben el so comportamientu. Cada teoría matemática precisa un conxuntu distintu de signos extralógicos, por casu l'aritmética de primer orde rique la función siguiente» y una constante que designe al primera de los númberos naturales (a partir d'esos dos signos nuevos una constante y una función, son definibles la suma, la multiplicación, la rellación d'orde menor o igual» y toles nociones necesaries pa l'aritmética).

El programa de Hilbert fixo concebir la posibilidá d'unes matemátiques en que la mesma consistencia d'axomes escoyíos fuera verificable de manera relativamente simple. Sicasí, el teorema de incompletitud de Gödel y otres resultaos amosaron la inviabilidad del programa de Hilbert pa los fines colos que foi propuestu.

Llimitaciones de los sistemes axomáticos

A mediaos del sieglu XX, Kurt Gödel demostró los sos famosos teoremas de incompletitud. Estos teoremas amosaben que, anque un sistema d'axomes recursivos tuvieren bien definíos y fueren consistentes, los sistemes axomáticos con esos sistemes d'axomes cadecen de llimitaciones graves. Ye importante notar equí la restricción de que'l sistema d'axomes seya recursivamente enumerable, esto ye, que'l conxuntu d'axomes forme un conxuntu recursivamente enumerable dada una codificación o gödelización de los mesmos. Esa condición téunica ríquese yá que si'l conxuntu d'axomes nun ye recursivo entós la teoría nin siquier va ser decidible.

Con esa restricción Gödel demostró, que si la teoría almite un modelu de cierta complexidá siempres hai una proposición P verdadera pero non demostrable. Gödel prueba qu'en cualesquier sistema formal qu'incluya aritmética puede xenerase una proposición P por aciu la cual afírmese que esti enunciáu nun ye demostrable.

Ver tamién

Referencies

↑ Definición d'axoma en Symploke.
↑ R. Courant c/ F. John. Introducción al cálculu y al analís matemáticu. VolI ISBN 968-18-0634-5

Bibliografía

Sagan, Carl (1997). El mundu y los sos demonios. Barcelona: Planeta. ISBN 84-08-02043-9.

Enllaces esternos

Axoma
Axoma, nel Diccionariu soviéticu de filosofía
Axoma, en Diccionariu enciclopédicu hispanoamericanu (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).

[1] Definición d'axoma en Symploke.

[2] R. Courant c/ F. John. Introducción al cálculu y al analís matemáticu. VolI ISBN 968-18-0634-5

[1]

[2]

Axoma
conceutu matemáticu
proposición ^(es) , concepto primitivo ^(es) y lema ^(es)