تحليل رياضي/التكامل

تكامل دالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مفتوح $I$ و $a$ و $b$ عنصرين من $I$

العدد الحقيقي $F(b)-F(a)$ ، حيث $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ ، يسمى تكامل الدالة $f$ من $a$ إلى $b$ ويُرمز له بالرمز $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يُقرأ كذلك "مجموع $f(x)\,dx$ من $a$ إلى $b$ " ونكتب : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

ملاحظة :

في الكتابة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يُكمن تعويض الحرف $x$ بأي حرف آخر.

وبناء عليه، فإن التكاملات $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ و $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ و $\int _{a}^{b}f(u)\,du$ و $\int _{a}^{b}f(y)\,dy$ كلها متساوية.

الخاصيات الجبرية للتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، لدينا لكل $a$ و $b$ و $c$ من $I$ :

$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$
$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$
$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$ (علاقة شال)

خاصية : الخطانية

لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على مجال $I$ ،

لكل عنصرين $a$ و $b$ من $I$ ولكل عدد حقيقي ثابت $\alpha$ ، لدينا :

$\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx$
$\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx$

التأويل الهندسي للتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة وموجبة على قطعة $[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.

مساحة الحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ (بوحدة قياس المساحة).

تقنيات لحساب تكامل

لحساب تكامل، نستعمل جدول الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية والخاصيات السابقة. إلا أنه في بعض الحالات ينبغي اللجوء إلى بعض التقنيات التي تمكن من تبسيط حساب هذا التكامل.

ومن بين هذه التقنيات سنتطرق إلى تقنية المكاملة بالأجزاء وتقنية تغيير المتغير.

المكاملة بالأجزاء

خاصية

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال مفتوح $I$ بحيث $u'$ و $v'$ متصلتان على $I$

لكل $a$ و $b$ من $I$ لدينا : $\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$

المكاملة بتغيير المتغير

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، و $g$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $J$ بحيث $g'$ متصلة على $J$ و $g(J)\subset I$

لكل $a$ و $b$ من $J$ لدينا : $\int _{a}^{b}f((g(x)).g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt$

عمليا :

على "الطريقة الفيزيائية"، إذا وضعنا $t=g(x)$ فإن : ${\frac {dt}{dx}}=g'(x)$ ، وبالتالي فإن : $dt=g'(x)\,dx$

ومنه فإن التعبير $f(g(x)).g'(x)\,dx$ سيصبح $f(t)\,dt$

ولدينا أيضا : ${\begin{cases}x=a\Rightarrow t=g(a)\\x=b\Rightarrow t=g(b)\end{cases}}$

نقول إننا أجرينا "تغييرا للمتغير بوضع $t=g(x)$ "

التكامل والترتيب

خاصية

لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على قطعة $[a,b]$ ( $a<b$ )

إذا كانت $f$ موجبة على المجال $[a,b]$ فإن : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$
إذا كان $f(x)\leq g(x)$ لكل $x$ من $[a,b]$ فإن : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

التكامل والقيمة المُطْلَقة

خاصية

لتكن

f

دالة متصلة على مجال

I

، و

a

و

b

عنصرين من

I

بحيث

a<b

. لدينا :

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

القيمة المتوسطة لدالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن

f

دالة متصلة على قطعة

[a,b]

(

a<b

). العدد الحقيقي :

$\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

يسمى القيمة المتوسطة للدالة

f

على

[a,b]

مبرهنة المتوسط

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a,b]$ ( $a<b$ )

يوجد على الأقل عدد حقيقي $c$ من $[a,b]$ بحيث : $f(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

ملاحظتان :

إذا كان $f([a,b])=[m,M]$ وكانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $[a,b]$ فإن الصيغة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(c)$ تكافئ $F(b)-F(a)=(b-a)F'(c)$ وهي صيغة مبرهنة التزايدات المنتهية مطبقة على الدالة $F$
في حالة $f$ موجبة على $[a,b]$ ، الصيغة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(c)$ تعني أن مساحة الحيز $\Delta =\{M(x,y)\;;\;a\leq x\leq b\,,0\leq y\leq f(x)\}$ هي مساحة المستطيل الذي بُعداه : $b-a$ و $\mu =f(c)$

دالة مُعَرَّفة بتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ و $a$ عنصرا من $I$

الدالة $g:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا : $(\forall x\in I)\quad g'(x)=f(x)$

ملاحظة : الدالة $g:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt$ هي الدالة الأصلية للدالة $f$ على $I$ التي تنعدم في $a$

حساب المساحات

خاصية

المستوى منسوب إلى معلم متعامد. لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$

مساحة الحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ الممثل للدالة $f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$ بوحدة قياس المساحة.

مساحة حيز محصور بين منحنيين

خاصية

المستوى منسوب إلى معلم متعامد. لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$

مساحة الحيز المحصور بين المنحنيين $(C_{f})$ و $(C_{g})$ والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$ بوحدة قياس المساحة.

حساب الحجوم

حجم مجسم في الفضاء

خاصية

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم.

ليكن $(S)$ مجسما محصورا بين مستويين معرفين على التوالي بالمعادلتين $z=a$ و $z=b$

نعتبر الدالة $t\mapsto {\mathcal {A}}(t)$ المعرفة على $[a,b]$ ، حيث ${\mathcal {A}}(t)$ هي مساحة مجموعة النقط $M(x,y,z)$ من المجسم $(S)$ بحيث $z=t$

إذا كانت الدالة ${\mathcal {A}}$ متصلة على $[a,b]$ ، فإن حجم $(S)$ هو : $\nu =\int _{a}^{b}{\mathcal {A}}(t)\,dt$ بوحدة قياس الحجم.

حجم مجسم مولد بدوران منحنى دالة حول محور الأفاصيل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\;[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد ممنظم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

حجم المجسم المُوَلَّد بدوران المنحنى $(C)$ دورة كاملة حول محور الأفاصيل هو : $\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}\,dx$ بوحدة قياس الحجم

حجم مجسم مولد بدوران منحنى دالة حول محور الأراتيب

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا على قطعة $(a<b)\;[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد ممنظم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

حجم المجسم المُوَلَّد بدوران المنحنى $(C)$ دورة كاملة حول محور الأراتيب هو : $V=\left|\int _{f(a)}^{f(b)}\pi (f^{-1}(t))^{2}\,dt\right|$ بوحدة قياس الحجم

وإذا كانت، بالإضافة إلى ذلك، $f$ قابلة للاشتقاق على $[a,b]$ فإن هذا الحجم هو : $V=\pi \int _{a}^{b}x^{2}|f'(x)|\,dx$

تأطير تكامل بمتتاليتين باستعمال طريقة المستطيلات

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$

لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \{1\}$ نضع : $s_{n}:={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)$ و $S_{n}:={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)$